19. Затухающие колебания.

Затуханием колебаний называется постепенное ослабление колебаний с течением времени, обусловленное потерей энергии колебательной системой.

Затухание механических колебаний вызывается главным образом трением. Затухание в электрических колебательных системах вызывается тепловыми потерями и потерями на излучение электромагнитных волн, а также тепловыми потерями в диэлектриках и ферромагнетиках вследствие электрического и магнитного гистерезиса.

Закон затухания колебаний определяется свойствами колебательных систем.

Система называется линейной, если параметры, характеризующие те физические свойства системы, которые существенны для рассматриваемого процесса, не изменяются в ходе процесса.

Линейные системы описываются линейными дифференциальными уравнениями.

Различные по своей природе линейные системы описываются одинаковыми уравнениями , что позволяет осуществлять единый подход к изучению колебаний различной физической природы.

20.Дифференциальное уравнение свободных затухающих колебаний линейной системы

Дифференциальное уравнение свободных затухающих колебаний

линейной системы имеет вид

где s- колеблющаяся величина,

- коэффициент затухания,

ω 0 - циклическая частота свободных незатухающих колебаний той же колебательной системы (при ).

В случае малых затуханий ( ) решение этого уравнения:

- амплитуда зату­хающих колебаний,

А 0 - начальная амплитуда,

- циклическая частота затухающих колебаний.

Промежуток времени , в течение которого амплитуда затухающих о

колебаний уменьшается в е раз называется временем релаксации.

Затухание нарушает периодичность колебаний.

Затухающие колебания не являются периодическими.

Однако если затухание мало, то можно условно пользоваться понятием периода затухающих колебаний как промежутка времени между двумя последующими максимумами колеблющейся физической величины:

Если A(t) и A(t + T) - амплитуды двух последовательных колебаний, соответствующих моментам времени, отличающихся на период, то отношение

называется декрементом затухания, а его логарифм

называется логарифмическим декрементом затухания.

Здесь N - число колебаний, совершаемых за время уменьшения амплитуды в е раз.

22.Добротность колебательной системы.

Добротностью колебательной системы называется безразмерная величина Q, равная произведению 2π на отношение энергии W(t) колебаний системы в произвольный момент времени t к убыли этой энергии за промежуток времени от t до t + T (за один условный период затухающих колебаний):

Энергия W(t) пропорциональна квадрату амплитуды А(t), поэтому:

При малых значениях логарифмического декремента затухания ( << 1)

Поэтому (принимая Т ≈Т 0)

Волны в упругой среде.

23.Волновой процесс.

Если возбудить колебания в какой-либо точке среды (твердой, жидкой или газообразной) то, вследствие взаимодействия между частицами среды, эти колебания будут передаваться от одной точки среды к другой со скоростью, зависящей от свойств среды.

При рассмотрении колебаний не учитывается детальное строение среды; среда рассматривается как сплошная, непрерывно распределенная впространстве и обладающая упругими свойствами.

Среда называется линейной, если ее свойства не изменяются под действием возмущений, создаваемых колебаниями.

Волновым процессом или волной - называется процесс распро­странения колебаний в сплошной среде.

При распространении волны частицы колеблются около своих положений равновесия, а не перемещаются вслед за волной.

Вместе с волной от частицы к частице передается только состояние колебательного движения и его энергия.

Основным свойством всех волн является перенос энергии без переноса вещества .

24.Упругие волны.

Упругими (или механическими) волнами называются механические возмущения, распространяющиеся в упругой среде.

Продольная волна - волна, в которой частицы среды колеблются в направлении распространения волны .

Поперечная волна - волна, в которой частицы среды колеблются в плоскостях, перпендикулярных направлению распространения волны .

Продольные волны могут распространяться в средах, в которых возникают упругие силы при деформации сжатия и растяжения (в твердых, жидких и газообразных телах).

Поперечные волны могут распространяться только в среде, в которой возникают упругие силы при деформации сдвига (только в твердых телах).

36. Упругая гармоническая волна.

Упругая волна называется гармонической, если соответствующие ей колебания частиц среды являются гармоническими.

Пусть гармоническая волна распространяется со скоростью υ вдоль оси ОХ. Обозначим смещения частиц среды через

Для данного момента времени t зависимость между смещением частиц среды и расстоянием х этих частиц от источника колебаний О можно представить в виде графика волны.

Отличие графика волны от графика гармонического колебания:

1) график волны представляет зависимость смещения всех частиц среды от расстояния до источника колебаний вданный момент времени ;

2) график гармонического колебания это зависимость смещения данной частицы от времени

Длиной волны λ называется расстояние между ближайшими частицами, колеблющимися в одинаковой фазе.

Длина волны равна расстоянию, на которое распространяется гармоническая волна за время, равное периоду колебаний Т:

где п - частота колебаний, υ - скорость распространения волны.

Волновым фронтом называется геометрическое место точек, до которых доходят колебания к определенному моменту времени t.

Волновой поверхностью называется геометрическое место точек, колеблющихся в одинаковой фазе.

Волновых поверхностей можно провести бесчисленное множество, а волновой фронт в каждый момент времени - один.

37.Бегущие волны.

Бегущими волнами называются волны, которые переносят в пространстве энергию.

Перенос энергии количественно характеризуется вектором плотности потока энергии (вектор Умова ). Направление этого вектора совпадает с направлением распространения энергии, а его модуль равен энергии, переносимой волной за единицу времени через единичную площадку, расположенную перпендикулярно волне.

Важными примерами бегущих волн являются плоская и сферическая волны.

Волна называется плоской, если ее волновые поверхности представляют совокупность плоскостей, параллельных друг другу.

Волна называется сферической, если ее волновые поверхности имеют вид концентрических сфер. Центры этих сфер называются центром волны.

25.Уравнение плоской волны.

Пусть точки, которые расположены в плоскости х = 0, колеблются по закону . И пусть υ- скорость распространения колебаний в данной среде.

Колебания частицы В среды (см. рисунок), расположенной на расстоянии х от источника колебаний О, будут происходить по тому же закону. Но, поскольку для прохождения волной расстояния х требуется время , то ее колебания будут отставать по времени от колебания источника на τ.

Уравнение колебаний частиц, лежащих вплоскости х, имеет вид

Следовательно, функция является не только периодической функцией времени , но и периодической функцией координаты х.

В общем случае уравнение плоской волны, распространяющейся вдоль положительного направления оси х в среде, не поглощающей энергию, имеет вид

здесь: А = const - амплитуда волны,

ω - циклическая частота,

- начальная фаза волны,

- фаза плоской волны.

Если определить волновое число:

то уравнение плоской бегущей волны можно записать в виде

или в экспоненциальной форме

где физический смысл имеет только вещественная часть.

В общем виде уравнение плоской волны, распространяющейся в направлении имеет вид:

25.Фазовая скорость.

Скорость в этих уравнениях есть скорость распространения фазы волны и ее называют фазовой скоростью.

Действительно, пусть в волновом процессе фаза постоянна:

26. Уравнение сферической волны.

где r - расстояние от центра волны до рассматриваемой точки среды. Амплитуда колебаний в сферической волне убывает с расстоянием по закону .

27 . Волновое уравнение.

Распространение волн в однородной изотропной среде в общем случае описывается волновым уравнением - дифференциальным уравнением в частных производных:

или

где υ - фазовая скорость,

- оператор Лапласа.

Решением волнового уравнения является уравнение любой волны (в том числе и плоская и сферическая волны).

Волновое уравнение для плоской волны, распространяющейся вдоль оси х :

28.Принцип суперпозиции.

Если среда, в которой распространяется одновременно несколько волн, линейна, то к этим волнам применим принцип суперпозиций (наложения) волн:

при распространении в линейной среде нескольких волн каждая из них распространяется так, как будто другие волны отсутствуют, а результирующее смещение частицы среды в любой момент времени равно геометрической сумме смещений, которые получают частицы, участвующие в каждом из слагающих волновых процессов.

29.Групповая скорость.

Любое сложное колебание может быть представлено в виде суммы одновременно совершающихся гармонических колебаний (разложение Фурье).

Поэтому любая волна может быть представлена в виде суммы гармонических волн, то есть в виде волнового пакета или группы волн.

Волновым пакетом называется суперпозиция волн, мало отличающихся друг от друга по частоте, занимающая в каждый момент времени ограниченную область пространства.

За скорость распространения волнового пакета принимают скорость перемещения максимума его амплитуды (центра волнового пакета).

Групповой скоростью и называется скорость движения группы волн, образующих в каждый момент времени локализованный в пространстве волновой пакет (или скорость движения центра волнового пакета).

Ее величина

Связь групповой и фазовой скоростей:

30. Интерференция волн.

Когерентностью называется согласованное протекание во времени и пространстве нескольких колебательных или волновых процессов.

Две волны называются когерентными , если разность их фаз не зависит от времени.

Гармонические волны, имеющие одинаковую частоту, когерентны всегда.

Интерференцией волн называется явление наложения волн , при котором происходит устойчивое во времени их взаимное усиление в одних точках пространства и ослабление в других в зависимости от соотношения между фазами этих волн.

Рассмотрим наложение двух когерентных сферических волн, возбуждаемых точечными источниками, колеблющимися с одинаковыми амплитудой , частотой ωи постоянной разностью фаз:

,

где и - расстояния от источников до рассматриваемой точки, k -

волновое число, - начальные фазы волн.

Амплитуда результирующей волны

Поскольку для когерентных источников , то результат интерференции двух волн зависит от величины , называемой разностью хода.

Интерференционный максимум наблюдается в точках, где

Числа называются порядком интерференционного максимума.

наблюдается в точках,

Интерференционный минимум наблюдается в точках, где .

Числа называются порядком интерференционного минимума.

31. Стоячие волны.

Особым случаем интерференции являются стоячие волны.

Стоячие волны - это волны, образующиеся при наложении двух бегущих волн, распространяющихся навстречу друг другу с одинаковыми частотами и амплитудами.

Пусть две плоские бегущие волны с одинаковыми амплитудами и частотами распространяются навстречу друг другу вдоль оси х :

,

Расстояния между двумя соседними узлами и между двумя соседними пучностями одинаковы и равны половине длины волны λ бегущих волн. Эту

величину называют длиной стоячей волны: .

В бегущей волне	В стоячей волне
Амплитуда колебаний
все точки волны совершают колебания с одинаковой амплитудой	разными амплитудами
Фаза колебаний
фаза колебаний зависит от коор­динаты х рассматриваемой точки	все точки между двумя узлами колеблются с одинаковыми фазами
	при переходе через узел фаза колебаний изменяется на π ; точки лежащие по разные стороны от узла колеблются в противофазе
Перенос энергии
энергия колебательного движе­ния переносится в направлении распространения бегущей волны	переноса энергии нет, лишь впределах происходят взаимные превращения кинетической энергии в потенциальную и обратно

Образование стоячих волн наблюдают при интерференции бегущей и отраженной волн.

менее плотная пучность.

Если среда, от которой происходит отражение, более плотная , то на границе сред образуется узел стоячей волны.

32. Эффект Доплера.

Эффектом Доплера называется изменение частоты колебаний, воспринимаемой приемником, при движении источника этих колебаний и приемника друг относительно друга. В акустике эффект Доплера проявляется как повышение тона при приближении источника звука к приемнику и понижения тона звука при удалении источника от приемника.

Пусть источник и приемник звука движутся вдоль соединяющей их прямой; - скорости источника и приемника (положительны при сближении и отрицательны при удалении источника и приемника);

Скорость распространения колебаний υ зависит только от свойств среды, поэтому за время, равное периоду колебаний источника, излученная им волна пройдет в направлении к приемнику расстояние . Источник же пройдет расстояние . Поэтому к моменту окончания излучения волны длина волны в направлении движения сократится и станет . Частота колебаний которые воспринимает приемник, увеличится:

Движения, обладающие той или иной степенью повторяемости, называются колебаниями. Если колебания повторяются через равные промежутки времени, то они называются периодическими. В зависимости от физической природы колебательного процесса и «механизма» его возбуждения различают механические и электромагнитные колебания. Гармонические – это такие колебания, которые описываются периодическим законом или (1)

где – периодически изменяющаяся величина (смещение, скорость, сила и т.д.). Система, закон движения которой имеет вид (1), называется одномерным (линейным) классическим гармоническим осциллятором или сокращенно гармоническим осциллятором .

Амплитуда А, определяющая размах колебаний, равна абсолютному значению наибольшего отклонения от значения в состоянии равновесия. Аргумент синуса или косинуса называется фазой колебания, – начальная фаза. –частота колебаний, численно равная числу колебаний, совершаемых за единицу времени. Частота, при которой за 1с совершается одно полное колебание, называется герцем (Гц).Т – период – время, за которое совершается одно полное колебание.

Система, совершающая колебания, называется маятником .

Пружинный маятник имеет период , где m – масса тела, закрепленного на пружине жесткостью k . .Математический маятник – это модель, в которой вся масса сосредоточена в материальной точке, колеблющейся на невесомой и недеформируемой нити длиной . Период колебаний: . Физический маятник – образует твердое тело, подвешенное в поле тяжести на закрепленной горизонтальной оси. Период колебаний физического маятника: , где J – момент инерции маятника относительно оси, m – масса тела, – расстояние от оси до центра тяжести тела.

Свободными (собственными) называются колебания, которые происходят в отсутствие переменных внешних воздействий на колебательную систему. Они возникают вследствие какого-либо начального отклонения этой системы от состояния ее устойчивого равновесия.

Рассмотрим смещение x колеблющегося тела относительно положения равновесия, то есть . Начало отсчета времени выберем так, чтобы =0. Уравнение гармонического колебания: , причем А и w – величины постоянные.

Первая производная от по времени дает выражение для скорости движения тела: ; (2)

Уравнения (2) показывают, что скорость, как и смещение, изменяются по гармоническому закону с той же частотой w, но ее фаза отличается от фазы смещения на p/2, то есть когда =0, то .

Ускорение изменяется со временем также по гармоническому закону:

, (3)

где – максимальное значение ускорения. Фаза ускорения отличается от фазы смещения на p, а от скорости на p/2. Из (3) следует. что значение ускорения в процессе колебательного движения равно:

Таким образом, при гармоническом колебательном движении ускорение тела прямо пропорционально смещению от положения равновесия и имеет противоположный ему знак. Уравнение (4) можно переписать в виде: (5)

Это и есть дифференциальное уравнение гармонических колебаний. Если изменяется со временем согласно формуле (1), то оно удовлетворяет дифференциальному уравнению (5). Верно и обратное утверждение.

Реально свободные колебания под действием сил сопротивления всегда затухают . Пусть точка совершает линейное гармоническое колебание в вязкой среде. При малых скоростях: , где r – постоянная величина, называемая коэффициентом сопротивления среды. Уравнение колебаний: . Введем обозначения: , тогда дифференциальное уравнение затухающего колебания: (6)

где – коэффициент затухания, w 0 – собственная частота колебания. При отсутствии трения =0, уравнение примет вид уравнения для свободных незатухающих колебаний. В результате решения уравнения (6) получим зависимость смещения х от времени, то есть уравнение затухающего колебательного движения:

Выражение называется амплитудой затухающего колебания. Амплитуда уменьшается с течением времени и тем быстрее, чем больше коэффициент затухания. Огибающая на графике зависит от . Чем она больше, тем круче огибающая, то есть колебания быстрее затухают.

Путем подстановки функции (2) и ее производных по времени в уравнение (1), можно найти значение угловой частоты: . Период затухающих колебаний равен: .

Наглядной характеристикой затухания является отношение значений двух амплитуд, соответствующих промежутку времени в один период. Это отношение называют декрементом затухания : Его логарифм есть безразмерная величина, называемая логарифмическим декрементом затухания:

Колебания системы, которые совершаются за счет работы периодически меняющейся внешней силы, называются вынужденными.

Пусть на систему действует внешняя сила, меняющаяся со временем по гармоническому закону: , где F 0 – амплитуда силы (максимальное значение), w – угловая частота колебаний вынуждающей силы. Тогда уравнение движения будет иметь вид.

Физика ответы (Семенов) .docx

10.Колебательное движение. Свободные, вынужденные и затухающие колебания.

1) Колебания называются свободными (или собственными ), если они совершаются за счет первоначально сообщенной энергии при последующем отсутствии внешних воз­действий на колебательную систему (систему, совершающую колебания).Дифференциальное уравнение2) Свободныезатухающие колебания – колебания, амплитуды которых из-за потерь энергии реальной колебательной системой с течением времени уменьшаются. Простейшим механизмом уменьшения энергии колебаний является ее превращение в теплоту вследствие трения в механических колебательных системах, а также омичес­ких потерь и излучения электромагнитной энергии в электрических колебательных системах.Дифференциальное уравнение 3) Колебания, возникающие под действием внешней периодически изменяющейся силы или внешней периодически изменяющейся э.д.с., называются соответственновынужденными механическими ивынужденными электромагнитными колебаниями Дифференциальное уравнение

11. Сложение гармонических колебаний одного направления и одинаковой частоты. Колеблющееся тело может участвовать в нескольких колебательных процессах, тогда необходимо найти результирующее колебание, иными словами, колебания необходимо сложить.

Сложим гармонические колебания одного направления и одинаковой частоты

Уравнение результирующего колебания будет

В выражении амплитудаА и начальная фаза соответственно задаются соотношениямТаким образом, тело, участвуя в двух гармонических колебаниях одного направления и одинаковой частоты, совершает также гармоническое колебание в том же направле­нии и с той же частотой, что и складываемые колебания. Амплитуда результирующего колебания зависит от разности фаз ( 2 -  1) складываемых колебаний.

12. Сложение взаимно перпендикулярных колебаний. Фигуры Лиссажу

Результат сложения двух гармонических колебаний одинаковой час­тоты , происходящих во взаимно перпендикулярных направлениях вдоль осейх и у. Для простоты начало отсчета выберем так, чтобы начальная фаза первого колебания была равна нулю, и запишемгде - разность фаз обоих колебаний,А иВ - амплитуды складываемых колебаний. Уравнение траектории результирующего колебания находится исключением из выражений параметраt . Записывая складываемые колебания в виде

и заменяя во втором уравненииcos t нах/А иsin t на, получим после несложных преобразованийуравнение эллипса, оси которого ориентированы относите­льно координатных осейпроизвольно: Так как траектория результирующего колебания имеет форму эллипса, то такие колебания называютсяэллиптически поляризованными.

12. Фигуры Лиссажу

Замкнутые тра­ектории, прочерчиваемые точкой, совершающей одновременно два взаимно перпендикулярных колебания, называются фигурами Лиссажу .* Вид этих кривых зависит от соотношения амплитуд, частот и разности фаз складываемых колебаний.

13. Законы идеальных газов. Уравнение Клапейрона-Менделеева.

Закон Бойля-Мариотта *: для данной массы газа при постоянной температуре произведение давления газа на его объем есть величина постоянная:pV=constприT=const,m=const

Законы Гей-Люссака *:1) объем данной массы газа при постоянном давлении изменяется линейно с температурой:V=Vo(1+t) ПриV=const

2) давление данной массы газа при постоянном объеме изменяется линейно с тем­пературой:p=po(1+t) приV=const,m=const

Закон Дальтона *: давление смеси идеальных газов равно сумме парциальных давленийp 1 , p 2 ,..., р n входящих в нее газов:

Cостояние некоторой массы газа определяется тремя термодина­мическими параметрами: давлениемр, объемомV и температуройТ. Между этими параметрами существует определенная связь, называемая уравнением состояния, кото­рое в общем виде дается выражением

Выражение является уравнением Клапейрона, в котором В - газовая постоянная,различная для разных газов.

Уравнениюудовлетворяет лишь идеальный газ, и оно является уравнением состояния идеального газа, называемым также уравнением Клапейрона - Менделеева.

Уравнение Клапейрона - Менделеева для массы т газа

где  = m / M - количество вещества, гдеN A / V m = n - концентрация молекул (число молекул в единице объема). Таким образом, из уравнения

Затухающие колебания.

До сих пор мы рассматривали колебательное
движение тела так, как если бы оно происходило
совершенно беспрепятственно. Однако, если
движение происходит в какой либо среде, то эта
среда оказывает сопротивление движению,
стремящееся замедлить его. Взаимодействие тела
со средой представляет собой сложный процесс,
приводящий, в конце концов, к переходу энергии
движущегося тела в тепло,- как говорят в
физике, к рассеянию или диссипации энергии.
Этот процесс не является уже чисто
механическим и его детальное изучение требует
привлечения также и других разделов физики. С
чисто механической точки зрения он может быть
описан путем введения дополнительной (кроме
возвращающей) силы, появляющейся в результате
движения и направленной противоположно ему.
Эту силу называют силой трения. При достаточно
малых скоростях движения она пропорциональна
скорости тела, и ее проекция на ось х

где г - некоторая положительная постоянная,
характеризующая взаимодействие тела со средой,
а знак минус указывает, что сила направлена в
сторону, обратную скорости.

Выясним сначала, как влияет наличие такого
трения на колебательное движение. Будем считать
при этом, что сила трения настолько мала, что
вызываемая ею потеря энергии тела (за время
одного периода колебаний) относительно мала.

Запишем теперь второй закон Ньютона для

Деля это уравнение на m и перенося все члены
уравнения в левую часть, получим

2. Вынужденные колебания.

Во всякой реальной колебательной системе
всегда происходят те или иные процессы трения.
Поэтому свободные колебания, возникающие в
системе под влиянием начального толчка, с
течением времени затухают.

Для того, чтобы возбудить в системе
незатухающие колебания, необходимо

компенсировать потери энергии, обусловленные
трением. Такая компенсация может производиться
внешними (по отношению к колебательной
системе) источниками энергии. Простейшим
случаем является воздействие на систему
переменной внешней силы f BH , изменяющейся со
временем по гармоническому закону

в системе возникнут колебания, происходящие в
такт с изменением силы. Эти колебания
называются вынужденными. Движение системы
будет представлять собой, вообще говоря,
наложение обоих колебаний - собственных

система будет совершать лишь вынужденные
колебания.

Найдем уравнение вынужденных колебаний.
Для этого в уравнение (6.9) (второй закон
Ньютона) добавим вынуждающую силу (6.14):

Частота незатухающих колебаний. Полученное
уравнение называется уравнением затухающих
колебаний. Оно переходит в уравнение

Деля (6.15) на m и вводя прежние обозначения,
получим

Это и есть уравнение вынужденных
колебаний. Поскольку вынужденные колебания
происходят с частотой Q, будем искать решение
уравнения (6.16) в виде

Для их нахождения воспользуемся методом,
который называется методом векторных
диаграмм, удобным при сложении нескольких

то есть частота и период затухающих колебаний

В том случае, когда Р > со 0 (то есть движение
при достаточно большом трении), затухание
движения будет происходить монотонно без
колебаний. Такой процесс называется
апериодическим .

(на некотором вспомогательном чертеже -
векторной диаграмме) как проекцию на
горизонтальную ось ОХ радиуса - вектора,