Видеокурс «Получи пятерку» включает все темы, необходимые для успешной сдачи ЕГЭ по математике на 60-65 баллов. Полностью все задачи 1-13 Профильного ЕГЭ по математике. Подходит также для сдачи Базового ЕГЭ по математике. Если вы хотите сдать ЕГЭ на 90-100 баллов, вам надо решать часть 1 за 30 минут и без ошибок!
Курс подготовки к ЕГЭ для 10-11 класса, а также для преподавателей. Все необходимое, чтобы решить часть 1 ЕГЭ по математике (первые 12 задач) и задачу 13 (тригонометрия). А это более 70 баллов на ЕГЭ, и без них не обойтись ни стобалльнику, ни гуманитарию.
Вся необходимая теория. Быстрые способы решения, ловушки и секреты ЕГЭ. Разобраны все актуальные задания части 1 из Банка заданий ФИПИ. Курс полностью соответствует требованиям ЕГЭ-2018.
Курс содержит 5 больших тем, по 2,5 часа каждая. Каждая тема дается с нуля, просто и понятно.
Сотни заданий ЕГЭ. Текстовые задачи и теория вероятностей. Простые и легко запоминаемые алгоритмы решения задач. Геометрия. Теория, справочный материал, разбор всех типов заданий ЕГЭ. Стереометрия. Хитрые приемы решения, полезные шпаргалки, развитие пространственного воображения. Тригонометрия с нуля - до задачи 13. Понимание вместо зубрежки. Наглядное объяснение сложных понятий. Алгебра. Корни, степени и логарифмы, функция и производная. База для решения сложных задач 2 части ЕГЭ.
Соблюдение Вашей конфиденциальности важно для нас. По этой причине, мы разработали Политику Конфиденциальности, которая описывает, как мы используем и храним Вашу информацию. Пожалуйста, ознакомьтесь с нашими правилами соблюдения конфиденциальности и сообщите нам, если у вас возникнут какие-либо вопросы.
Сбор и использование персональной информации
Под персональной информацией понимаются данные, которые могут быть использованы для идентификации определенного лица либо связи с ним.
От вас может быть запрошено предоставление вашей персональной информации в любой момент, когда вы связываетесь с нами.
Ниже приведены некоторые примеры типов персональной информации, которую мы можем собирать, и как мы можем использовать такую информацию.
Какую персональную информацию мы собираем:
- Когда вы оставляете заявку на сайте, мы можем собирать различную информацию, включая ваши имя, номер телефона, адрес электронной почты и т.д.
Как мы используем вашу персональную информацию:
- Собираемая нами персональная информация позволяет нам связываться с вами и сообщать об уникальных предложениях, акциях и других мероприятиях и ближайших событиях.
- Время от времени, мы можем использовать вашу персональную информацию для отправки важных уведомлений и сообщений.
- Мы также можем использовать персональную информацию для внутренних целей, таких как проведения аудита, анализа данных и различных исследований в целях улучшения услуг предоставляемых нами и предоставления Вам рекомендаций относительно наших услуг.
- Если вы принимаете участие в розыгрыше призов, конкурсе или сходном стимулирующем мероприятии, мы можем использовать предоставляемую вами информацию для управления такими программами.
Раскрытие информации третьим лицам
Мы не раскрываем полученную от Вас информацию третьим лицам.
Исключения:
- В случае если необходимо - в соответствии с законом, судебным порядком, в судебном разбирательстве, и/или на основании публичных запросов или запросов от государственных органов на территории РФ - раскрыть вашу персональную информацию. Мы также можем раскрывать информацию о вас если мы определим, что такое раскрытие необходимо или уместно в целях безопасности, поддержания правопорядка, или иных общественно важных случаях.
- В случае реорганизации, слияния или продажи мы можем передать собираемую нами персональную информацию соответствующему третьему лицу – правопреемнику.
Защита персональной информации
Мы предпринимаем меры предосторожности - включая административные, технические и физические - для защиты вашей персональной информации от утраты, кражи, и недобросовестного использования, а также от несанкционированного доступа, раскрытия, изменения и уничтожения.
Соблюдение вашей конфиденциальности на уровне компании
Для того чтобы убедиться, что ваша персональная информация находится в безопасности, мы доводим нормы соблюдения конфиденциальности и безопасности до наших сотрудников, и строго следим за исполнением мер соблюдения конфиденциальности.
Материал из Википедии - свободной энциклопедии
- В евклидовой геометрии , вписанный четырехугольник - это четырехугольник, у которого все вершины лежат на одной окружности. Эта окружность называется описанной окружностью четырехугольника, а вершины, как говорят, лежат на одной окружности. Центр этой окружности и ее радиус называются соответственно центром и радиусом описанной окружности. Другие термины для этого четырехугольника: четырехугольник лежит на одной окружности , стороны последнего четырехугольника являются хордами окружности. Обычно предполагается, что выпуклый четырехугольник является выпуклым четырехугольником. Формулы и свойства, приведенные ниже, действительны в выпуклом случае.
- Говорят, что если около четырёхугольника можно описать окружность , то четырёхугольник вписан в эту окружность , и наоборот.
Общие критерии вписанности четырехугольника
- Около выпуклого четырёхугольника радиан), то есть:
или в обозначениях рисунка:
- Можно описать окружность около любого четырехугольника, у которого пересекаются в одной точке четыре серединных перпендикуляра его сторон (или медиатрисы его сторон, то есть перпендикуляры к сторонам, проходящие через их середины).
- Можно описать окружность около любого четырехугольника, у которого один внешний угол, смежный с данным внутренним углом , точно равен другому внутреннему углу, противолежащему данному внутреннему углу . По сути это условие есть условие антипараллельности двух противоположных сторон четырехугольника. На рис. ниже показан внешний и смежный с ним внутренний углы зеленого пятиугольника.
- Пересечение X может быть внутренним или внешним по отношению к кругу. В первом случае получим вписанный четырехугольник является ABCD , а в последнем случае получим вписанный четырехугольник ABDC . При пересечении внутри круга, равенство гласит, что произведение длин сегментов, в котором точка X делит одну диагональ, равна произведению длин сегментов, в котором точка X делит другую диагональ. Это условие известно, как "теорема о пересекающихся хордах". В нашем случае диагонали вписанного четырехугольника являются хордами окружности.
- Еще один критерий вписанности. Выпуклый четырехугольник ABCD вписан круг тогда и только тогда, когда
Частные критерии вписанности четырехугольника
Вписанный простой (без самопересечений) четырёхугольник является выпуклым . Около выпуклого четырёхугольника можно описать окружность тогда и только тогда, когда сумма его противоположных углов равна 180° ( радиан). Можно описать окружность около:
- любого антипараллелограмма
- любого прямоугольника (частный случай квадрат)
- любой равнобедренной трапеции
- любого четырехугольника, у которого два противоположных угла прямые.
Свойства
Формулы с диагоналями
;В последней формуле пары смежных сторон числителя a и d , b и c опираются своими концами на диагональ длиной e . Аналогичное утверждение имеет место для знаменателя.
- Формулы для длин диагоналей (следствия ):
Формулы с углами
Для вписанного четырехугольника с последовательностью сторон a , b , c , d , с полупериметром p и углом A между сторонами a и d , тригонометрические функции угла A даются формулами
Угол θ между диагоналями есть :p.26
- Если противоположные стороны a и c пересекаются под углом φ , то он равен
где p есть полупериметр . :p.31
Радиус окружности, описанной около четырёхугольника
Формула Парамешвара (Parameshvara)
Если четырехугольник с последовательными сторонами a , b , c , d и полупериметром p вписан окружность, то ее радиус равен по формуле Парамешвара :p. 84
Она была получена индийским математиком Парамешваром в 15 веке (ок. 1380–1460 гг.)
- Выпуклый четырёхугольник (см. рис. справа), образованный четырьмя данными прямыми Микеля , вписан в окружность тогда и только тогда, когда точка Микеля M четырёхугольника лежит на прямой, соединяющей две из шести точек пересечения прямых (те, которые не являются вершинами четырёхугольника). То есть, когда M лежит на EF .
Критерий того, что четырехугольник, составленный из двух треугольников, вписан в некоторую окружность
- Последнее условие дает выражение для диагонали f четырёхугольника, вписанного в окружность, через длины четырех его сторон (a , b , c , d ). Эта формула немедленно следует при перемножении и при приравнивании друг другу левых и правых частей формул, выражающих суть первой и второй теорем Птолемея (см.выше).
Критерий того, что четырехугольник, отрезанный прямой линией от треугольника, вписан в некоторую окружность
- Прямая, антипараллельная стороне треугольника и пересекающая его, отсекает от него четырёхугольник, около которого всегда можно описать окружность.
- Следствие. Около антипараллелограмма , у которого две противоположные стороны антипараллельны, всегда можно описать окружность.
Площадь вписанного в окружность четырёхугольника
Варианты формулы Брахмагупты
где p - полупериметр четырёхугольника.Другие формулы площади
где θ любой из углов между диагоналями. При условии, что угол A не является прямым, площадь также может быть выражена как :p.26
где R есть радиус описанной окружности . Как прямое следствие имеем неравенство
где равенство возможно тогда и только тогда, когда этот четырехугольник является квадратом.
Четырехугольники Брахмагупты
Четырехугольник Брахмагупты является четырехугольником, вписанным в окружность, с целыми значениями длин сторон, целыми значениями его диагоналей и с целым значением его площади. Все возможные четырехугольники Брахмагупты со сторонами a , b , c , d , с диагоналями e , f , с площадью S , и радиусом описанной окружности R могут быть получены путем освобождения от знаменателей следующих выражений, включающих рациональные параметры t , u , и v :
Примеры
- Частными четырёхугольниками, вписанными в окружность, являются: прямоугольник , квадрат , равнобедренная или равнобочная трапеция , антипараллелограмм .
Четырехугольники, вписанные в окружность с перпендикулярными диагоналями (вписанные ортодиагональные четырехугольники)
Свойства четырехугольников, вписанных в окружность с перпендикулярными диагоналями
Радиус описанной окружности и площадь
У четырехугольника, вписанного в окружность с перпендикулярными диагоналями, предположим, что пересечение диагоналей делит одну диагональ на отрезки длины p 1 и p 2 , а другую диагональ делит на отрезки длины q 1 и q 2 . Тогда (Первое равенство является Предложением 11 у Архимеда " Книга лемм )
где D - диаметр cокружности . Это справедливо, потому что диагонали перпендикулярны хорды окружности . Из этих уравнений следует, что радиус описанной окружности R может быть записан в виде
или в терминах сторон четырехугольника в виде
Отсюда также следует, что
- Для вписанных ортодиагональных четырехугольников справедлива теорема Брахмагупты :
Если вписанный четырёхугольник имеет перпендикулярные диагонали, пересекающиеся в точке , то две пары его антимедиатрис проходят через точку .
Замечание . В этой теореме под антимедиатрисой понимают отрезок четырехугольника на рисунке справа (по аналогии с серединным перпендикуляром (медиатрисой) к стороне треугольника). Он перпендикулярен одной стороне и одновременно проходит через середину противоположной ей стороны четырехугольника.
Напишите отзыв о статье "Четырехугольники, вписанные в окружность"
Примечания
- Bradley, Christopher J. (2007), The Algebra of Geometry: Cartesian, Areal and Projective Co-Ordinates , Highperception, с. 179, ISBN 1906338000 , OCLC
- . Вписанные четырёхугольники.
- Siddons, A. W. & Hughes, R. T. (1929), Trigonometry , Cambridge University Press, с. 202, OCLC
- Durell, C. V. & Robson, A. (2003),
, Courier Dover, ISBN 978-0-486-43229-8 ,
- Alsina, Claudi & Nelsen, Roger B. (2007), "", Forum Geometricorum
Т. 7: 147–9,
- Johnson, Roger A., Advanced Euclidean Geometry , Dover Publ., 2007 (orig. 1929).
- Hoehn, Larry (March 2000), "Circumradius of a cyclic quadrilateral", Mathematical Gazette Т. 84 (499): 69–70
- .
- Altshiller-Court, Nathan (2007), College Geometry: An Introduction to the Modern Geometry of the Triangle and the Circle (2nd ed.), Courier Dover, сс. 131, 137–8, ISBN 978-0-486-45805-2 , OCLC
- Honsberger, Ross (1995), , Episodes in Nineteenth and Twentieth Century Euclidean Geometry , vol. 37, New Mathematical Library, Cambridge University Press, сс. 35–39, ISBN 978-0-88385-639-0
- Weisstein, Eric W. (англ.) на сайте Wolfram MathWorld .
- Bradley, Christopher (2011),
,
- .
- Coxeter, Harold Scott MacDonald & Greitzer, Samuel L. (1967), , Geometry Revisited , Mathematical Association of America, сс. 57, 60, ISBN 978-0-88385-619-2
- .
- Andreescu, Titu & Enescu, Bogdan (2004), , Mathematical Olympiad Treasures , Springer, сс. 44–46, 50, ISBN 978-0-8176-4305-8
- .
- Buchholz, R. H. & MacDougall, J. A. (1999), "", Bulletin of the Australian Mathematical Society Т. 59 (2): 263–9, DOI 10.1017/S0004972700032883
- .
- Johnson, Roger A., Advanced Euclidean Geometry , Dover Publ. Co., 2007
- , с. 74.
- .
- .
- .
- Peter, Thomas (September 2003), "Maximizing the area of a quadrilateral", The College Mathematics Journal Т. 34 (4): 315–6
- Prasolov, Viktor,
,
- Alsina, Claudi & Nelsen, Roger (2009), ,
, Mathematical Association of America, с. 64, ISBN 978-0-88385-342-9 ,
- Sastry, K.R.S. (2002). «» (PDF). Forum Geometricorum 2 : 167–173.
- Posamentier, Alfred S. & Salkind, Charles T. (1970), , Challenging Problems in Geometry (2nd ed.), Courier Dover, сс. 104–5, ISBN 978-0-486-69154-1
- .
- .
- .
См. также
|
Статья содержит короткие («гарвардские ») ссылки на публикации, не указанные или неправильно описанные в библиографическом разделе.
Список неработающих ссылок: , , , , , , , , , – Ну, что, казак мой? (Марья Дмитриевна казаком называла Наташу) – говорила она, лаская рукой Наташу, подходившую к ее руке без страха и весело. – Знаю, что зелье девка, а люблю. Она достала из огромного ридикюля яхонтовые сережки грушками и, отдав их именинно сиявшей и разрумянившейся Наташе, тотчас же отвернулась от нее и обратилась к Пьеру. – Э, э! любезный! поди ка сюда, – сказала она притворно тихим и тонким голосом. – Поди ка, любезный… И она грозно засучила рукава еще выше. Пьер подошел, наивно глядя на нее через очки. – Подойди, подойди, любезный! Я и отцу то твоему правду одна говорила, когда он в случае был, а тебе то и Бог велит. Она помолчала. Все молчали, ожидая того, что будет, и чувствуя, что было только предисловие. – Хорош, нечего сказать! хорош мальчик!… Отец на одре лежит, а он забавляется, квартального на медведя верхом сажает. Стыдно, батюшка, стыдно! Лучше бы на войну шел. Она отвернулась и подала руку графу, который едва удерживался от смеха. – Ну, что ж, к столу, я чай, пора? – сказала Марья Дмитриевна. Впереди пошел граф с Марьей Дмитриевной; потом графиня, которую повел гусарский полковник, нужный человек, с которым Николай должен был догонять полк. Анна Михайловна – с Шиншиным. Берг подал руку Вере. Улыбающаяся Жюли Карагина пошла с Николаем к столу. За ними шли еще другие пары, протянувшиеся по всей зале, и сзади всех по одиночке дети, гувернеры и гувернантки. Официанты зашевелились, стулья загремели, на хорах заиграла музыка, и гости разместились. Звуки домашней музыки графа заменились звуками ножей и вилок, говора гостей, тихих шагов официантов. На одном конце стола во главе сидела графиня. Справа Марья Дмитриевна, слева Анна Михайловна и другие гостьи. На другом конце сидел граф, слева гусарский полковник, справа Шиншин и другие гости мужского пола. С одной стороны длинного стола молодежь постарше: Вера рядом с Бергом, Пьер рядом с Борисом; с другой стороны – дети, гувернеры и гувернантки. Граф из за хрусталя, бутылок и ваз с фруктами поглядывал на жену и ее высокий чепец с голубыми лентами и усердно подливал вина своим соседям, не забывая и себя. Графиня так же, из за ананасов, не забывая обязанности хозяйки, кидала значительные взгляды на мужа, которого лысина и лицо, казалось ей, своею краснотой резче отличались от седых волос. На дамском конце шло равномерное лепетанье; на мужском всё громче и громче слышались голоса, особенно гусарского полковника, который так много ел и пил, всё более и более краснея, что граф уже ставил его в пример другим гостям. Берг с нежной улыбкой говорил с Верой о том, что любовь есть чувство не земное, а небесное. Борис называл новому своему приятелю Пьеру бывших за столом гостей и переглядывался с Наташей, сидевшей против него. Пьер мало говорил, оглядывал новые лица и много ел. Начиная от двух супов, из которых он выбрал a la tortue, [черепаховый,] и кулебяки и до рябчиков он не пропускал ни одного блюда и ни одного вина, которое дворецкий в завернутой салфеткою бутылке таинственно высовывал из за плеча соседа, приговаривая или «дрей мадера», или «венгерское», или «рейнвейн». Он подставлял первую попавшуюся из четырех хрустальных, с вензелем графа, рюмок, стоявших перед каждым прибором, и пил с удовольствием, всё с более и более приятным видом поглядывая на гостей. Наташа, сидевшая против него, глядела на Бориса, как глядят девочки тринадцати лет на мальчика, с которым они в первый раз только что поцеловались и в которого они влюблены. Этот самый взгляд ее иногда обращался на Пьера, и ему под взглядом этой смешной, оживленной девочки хотелось смеяться самому, не зная чему. Николай сидел далеко от Сони, подле Жюли Карагиной, и опять с той же невольной улыбкой что то говорил с ней. Соня улыбалась парадно, но, видимо, мучилась ревностью: то бледнела, то краснела и всеми силами прислушивалась к тому, что говорили между собою Николай и Жюли. Гувернантка беспокойно оглядывалась, как бы приготавливаясь к отпору, ежели бы кто вздумал обидеть детей. Гувернер немец старался запомнить вое роды кушаний, десертов и вин с тем, чтобы описать всё подробно в письме к домашним в Германию, и весьма обижался тем, что дворецкий, с завернутою в салфетку бутылкой, обносил его. Немец хмурился, старался показать вид, что он и не желал получить этого вина, но обижался потому, что никто не хотел понять, что вино нужно было ему не для того, чтобы утолить жажду, не из жадности, а из добросовестной любознательности. На мужском конце стола разговор всё более и более оживлялся. Полковник рассказал, что манифест об объявлении войны уже вышел в Петербурге и что экземпляр, который он сам видел, доставлен ныне курьером главнокомандующему. Раздвинули бостонные столы, составили партии, и гости графа разместились в двух гостиных, диванной и библиотеке. Пьер сидел в гостиной, где Шиншин, как с приезжим из за границы, завел с ним скучный для Пьера политический разговор, к которому присоединились и другие. Когда заиграла музыка, Наташа вошла в гостиную и, подойдя прямо к Пьеру, смеясь и краснея, сказала: В середине третьего экосеза зашевелились стулья в гостиной, где играли граф и Марья Дмитриевна, и большая часть почетных гостей и старички, потягиваясь после долгого сиденья и укладывая в карманы бумажники и кошельки, выходили в двери залы. Впереди шла Марья Дмитриевна с графом – оба с веселыми лицами. Граф с шутливою вежливостью, как то по балетному, подал округленную руку Марье Дмитриевне. Он выпрямился, и лицо его озарилось особенною молодецки хитрою улыбкой, и как только дотанцовали последнюю фигуру экосеза, он ударил в ладоши музыкантам и закричал на хоры, обращаясь к первой скрипке: В то время как у Ростовых танцовали в зале шестой англез под звуки от усталости фальшививших музыкантов, и усталые официанты и повара готовили ужин, с графом Безухим сделался шестой удар. Доктора объявили, что надежды к выздоровлению нет; больному дана была глухая исповедь и причастие; делали приготовления для соборования, и в доме была суетня и тревога ожидания, обыкновенные в такие минуты. Вне дома, за воротами толпились, скрываясь от подъезжавших экипажей, гробовщики, ожидая богатого заказа на похороны графа. Главнокомандующий Москвы, который беспрестанно присылал адъютантов узнавать о положении графа, в этот вечер сам приезжал проститься с знаменитым Екатерининским вельможей, графом Безухим. |
Определение .
Описанный четырехугольник — это четырехугольник, все стороны которого касаются окружности. При этом окружность называется вписанной в четырехугольник.
Какими свойствами обладает вписанная в четырехугольник окружность? Когда в четырехугольник можно вписать окружность? Где находится центр вписанной окружности?
Теорема 1 .
В четырехугольник можно вписать окружность тогда и только тогда, когда суммы его противолежащих сторон равны .
В четырехугольник ABCD можно вписать окружность, если
И обратно, если суммы противоположных сторон четырехугольника равны:
то в четырехугольник ABCD можно вписать окружность.
Теорема 2 .
Центр вписанной в четырехугольник окружности — точка пересечения его биссектрис .
O — точка пересечения биссектрис четырехугольника ABCD.
AO, BO, CO, DO — биссектрисы углов четырехугольника ABCD,
то есть ∠BAO=∠DAO, ∠ABO=∠CBO и т.д.
3. Точки касания вписанной окружности, лежащие на сторонах, выходящих из одной вершины, равноудалены от этой вершины.
AM=AN,
5. Площадь четырехугольника связана с радиусом вписанной в него окружности формулой
где p — полупериметр четырехугольника.
Так как суммы противолежащих сторон описанного четырехугольника равны, полупериметр равен любой из пар сумм противолежащих сторон.
Например, для четырехугольника ABCD p=AD+BC или p=AB+CD и
Описанная окружность около четырёхугольника. ? ? Около четырёхугольника можно описать окружность, если сумма противолежащих углов равна 180°: ? + ? =? + ? Если четырёхугольник вписан в окружность, то суммы противолежащих углов равна 180°. ? ? a. d. d1. ТЕОРЕМА ПТОЛОМЕЯ Сумма произведений противолежащих сторон равна произведению диагоналей: ac + bd = d1 d2. d2. b. c. b. Площадь четырёхугольника. a. c. d. Где р – полупериметр четырёхугольника.
Слайд 9 из презентации «Радиус вписанной и описанной окружности» . Размер архива с презентацией 716 КБ.Геометрия 9 класс
краткое содержание других презентаций«Золотое сечение в жизни» - Золотая спираль в искусстве. Путешествие в историю математики. Валуйки. Холст. Живопись и золотое сечение. Золотая спираль в природе. Золотое сечение заложено в пропорциях человеческого тела. Архитектор М.Ф. Казаков. Понятие золотого сечения. Деление отрезка. Золотое сечение в природе. Золотая спираль. Научный аппарат. Золотое сечение в архитектуре и искусстве. Золотой прямоугольник. Что такое золотое сечение.
«Как найти скалярное произведение векторов» - Найдите скалярное произведение векторов. Квадрат. ABCD - квадрат. Вставьте пропущенное слово. Ав = вс = ас. Скалярное произведение. Выберите правильный ответ. Найдите стороны и углы треугольника. Стороны треугольника. Познакомить учащихся с теоремой о нахождении скалярного произведения векторов. Ав = вс = ас = 2. Скалярное произведение векторов. Угол между векторами. Заполните таблицу.
«Виды и свойства треугольников» - Площадь треугольника. Задачи в координатах. Итоговое повторение геометрии. Свойства. Правильный треугольник. Треугольник. Проверь себя. Центр описанной окружности. Взаимное расположение треугольника и отрезков. Равнобедренный треугольник. Прямоугольный треугольник. Биссектриса.
««Треугольники» 9 класс» - Равнобедренный. Треугольники. Сумма углов треугольника. Прямоугольный. Биссектриса. Равносторонний. Средняя линия. Серединный перпендикуляр. Медиана. Треугольники. Тупоугольный – это треугольник у которого один из углов тупой. Соотношение между сторонами и углами треугольника. Неравенство треугольника. Внешний угол. Высота.
«Длина окружности и круг» - Найти длину окружности. Площадь круга. Вычислить. Найди радиус окружности. Закончите утверждение. Круг. Круговой сектор. Вычисли длину экватора. Длина окружности. Cамостоятельная работа. Окружность. Игра. Найти площадь заштрихованной фигуры. Начерти окружность с центром К и радиусом 2 см.
«Вопросы по многогранникам» - Какая геометрическая фигура получится на срезе цилиндра. Прямоугольник. Получение некоторых тел Архимеда. V = abc. Высота цилиндра. Куб, параллелепипед, пирамида. Некоторые геометрические тела. Найдите объём аквариума, изображённого на рисунке. Какие предметы имеют цилиндрическую форму. Конус. Почему куб, параллелепипед, пирамиду вы отнесли к многогранникам. Мяч, глобус - это сферы. Шар, цилиндр, конус, усечённый конус.