Подробно разобрано основное свойство дроби , дана его формулировка, приведено доказательство и поясняющий пример. Также рассмотрено применение основного свойства дроби при сокращении дробей и приведении дробей к новому знаменателю.
Навигация по странице.
Основное свойство дроби – формулировка, доказательство и поясняющие примеры
Все обыкновенные дроби обладают одним очень важным свойством, которое называют основным свойством дроби. Сформулируем основное свойство дроби : если числитель и знаменатель дроби умножить или разделить на одно и то же натуральное число, то получится дробь, равная данной.
Запишем основное свойство дроби в буквенном виде: для натуральных чисел a , b и m справедливы равенства и .
Приведем доказательство основного свойства дроби . Равенства (a·m)·b=(b·m)·a и (a:m)·b=(b:m)·a справедливы в силу свойств умножения натуральных чисел и свойств деления натуральных чисел, тогда дроби и , а также и равны по определению (смотрите равные и неравные дроби).
Давайте рассмотрим пример, иллюстрирующий основное свойство дроби. Пусть у нас есть квадрат, разделенный на 9 «больших» квадратов, а каждый из этих «больших» квадратов разделен на 4 «маленьких» квадрата. Таким образом, можно также говорить, что исходный квадрат разделен на 4·9=36 «маленьких» квадратов. Закрасим 5 «больших» квадратов. При этом закрашенными окажутся 4·5=20 «маленьких» квадратов. Приведем рисунок, отвечающий нашему примеру.
Закрашенная часть составляет 5/9 исходного квадрата, или, что то же самое, 20/36 исходного квадрата, то есть, дроби 5/9 и 20/36 равны: или . Из этих равенств, а также из равенств 20=5·4 , 36=9·4 , 20:4=5 и 36:4=9 следует, что и .
Для закрепления разобранного материала рассмотрим решение примера.
Числитель и знаменатель некоторой обыкновенной дроби умножили на 62 , после чего числитель и знаменатель полученной дроби разделили на 2 . Равна ли полученная дробь исходной?
Умножение числителя и знаменателя дроби на любое натуральное число, в частности на 62 , дает дробь, которая в силу основного свойства дроби, равна исходной. Основное свойство дроби позволяет утверждать и то, что после деления числителя и знаменателя полученной дроби на 2 получится дробь, которая будет равна исходной дроби.
да, полученная дробь равна исходной.
Применение основного свойства дроби
Основное свойство дроби в основном применяется в двух случаях: во-первых, при приведении дробей к новому знаменателю, и, во-вторых, при сокращении дробей.
Приведение дроби к новому знаменателю – это замена исходной дроби равной ей дробью, но с большим числителем и знаменателем. Для приведения дроби к новому знаменателю и числитель, и знаменатель дроби умножается на некоторое натуральное число, при этом, согласно основному свойству дроби, получается дробь, равная исходной, но с другим числителем и знаменателем. Без приведения дробей к новому знаменателю не обойтись при выполнении действий с обыкновенными дробями.
Основное свойство дроби позволяет проводить сокращение дробей, и в результате переходить от исходной дроби к равной ей дроби, но с меньшим числителем и знаменателем. Сокращение дроби заключается в делении числителя и знаменателя исходной дроби на любой отличный от единицы положительный общий делитель числителя и знаменателя (если таких общих делителей нет, то исходная дробь несократима, то есть, не подлежит сокращению). В частности, деление на наибольший общий делитель приведет исходную дробь к несократимому виду.
www.cleverstudents.ru
Основное свойство дроби
Чтобы сравнить, сложить или вычесть обыкновенные дроби с разными знаменателями, их нужно вначале привести к одинаковому (одному) знаменателю.
Для этого число, от которого взята часть долями (количество долей числа определяет знаменатель), разбивается на большее число долей так, чтобы все знаменатели дробей были кратны между собой.
Например, нужно сравнить, сложить или вычесть дроби и. Рассмотрим на рисунке дробление на доли (1 разделили на 4 части и 1 разделили на 2 части), за целое принимается 1.
Разделив на 2 доли, получаем наглядное сравнение.
Значит, , так как в доли содержится 2 доли по Запишем: . По правилам арифметики: Выделим простые множители в числителе и знаменателе:
Приведенные рисунки позволяют вывести правило, называемое основным свойством дроби .
Правило. Числитель и знаменатель дроби можно умножать или делить на одно и то же натуральное число, от чего величина дроби не изменяется.
Если числитель новой дроби представить произведением (или частным) первой дроби и любого натурального числа, а знаменатель новой дроби - произведением (или частным) знаменателя первой дроби и того же числа, то новая дробь сохраняет при вычислении произведений (или частных) значение (величину) исходной дроби, поэтому между заданной и полученной дробью можно ставить знак равенства.
Можно записать основное свойство дроби при умножении числителя и знаменателя дроби на число:
Можно записать основное свойство дроби при делении числителя и знаменателя дроби на число:
Сокращение дробей
С помощью дробей одну и ту же часть целого предмета можно записать разными способами.
На рисунке закрашена половина круга
Таким образом, все эти дроби равны.
Дробь
Для удобства дополнительный множитель записывают на наклонной черте справа над дробью.
Вернёмся ещё раз к нашим дробям и запишем их в другом порядке.
Дробь, равную данной, можно получить, если числитель и знаменатель дроби одновременно разделить на одно и то же число, не равное нулю.
Такое преобразование дроби называют сокращением дроби .
Сокращение дроби обычно записывают следующим образом.
Числитель и знаменатель зачёркиваются чёрточками, и рядом с ними записываются результаты деления (частные) числителя и знаменателя на одно и то же число.
Число, на которое делили числитель и знаменатель, держим в уме.
В нашем примере мы сокращали (то есть делили и числитель, и знаменатель) дробь на двойку, которую держали в уме.
Сокращение дроби можно проводить последовательно.
Сформулируем основное свойство дроби.
Если числитель и знаменатель дроби умножить или разделить на одно и то же число, не равное нулю, то получится дробь, равная данной.
Запишем это свойство в виде буквенных выражений.
, где « a », « b » и « k » - натуральные числа.
Основное свойство дроби. Сокращение дробей. Равенство дробей.
Равенство дробей.
Данная тема достаточно важна на основных свойствах дробей основана вся дальнейшая математика и алгебра. Рассмотренные свойства дробей, не смотря на свою важность очень просты.
Чтобы понять основные свойства дробей рассмотрим окружность.
На окружности видно, что 4 части или доли закрашены из восьми возможных. Запишем полученную дробь \(\frac \)
На следующей окружности видно, что закрашена одна часть из двух возможных. Запишем получившеюся дробь \(\frac \)
Если внимательно приглядимся, то увидим, что в первом случае, что во втором случае у нас закрашено половина круга, поэтому полученные дроби равны \(\frac = \frac \), то есть это одно и тоже число.
Как же это доказать математически? Очень просто, вспомним таблицу умножения и распишем первую дробь на множители.
Что мы сделали? Расписали числитель и знаменатель на множители \(\frac > >\), а потом разделили дроби \(\frac \cdot \color \). Четыре поделить на четыре это 1, а единица умноженное на любое число это и есть само число. То что мы проделали в приведенном примере называется сокращением дробей .
Посмотрим еще один пример и сократим дробь.
Мы опять расписали числитель и знаменатель на множители и одинаковый числа в числители и знаменатели сократили. То есть два деленное на два дало единицу, а единица умноженная на любое число дает тоже самое число.
Основное свойство дроби.
Отсюда следует основное свойство дроби:
Если и числитель, и знаменатель дроби умножить на одно и тоже число (кроме нуля), то величина дроби не изменится.
Также можно дроби числитель и знаменатель делить на одно и тоже число одновременно.
Рассмотрим пример:
Если и числитель, и знаменатель дроби делить на одно и тоже число (кроме нуля), то величина дроби не изменится.
Дроби у которых есть и в числители, и в знаменатели общие простые делители называются сократимыми дробями .
Пример сократимой дроби: \(\frac , \frac , \frac , \frac , …\)
Так же есть и несократимые дроби .
Несократимая дробь – это дробь у которые нет в числители и знаменатели общих простых делителей.
Пример несократимой дроби: \(\frac , \frac , \frac , \frac , …\)
Любое число можно представить в виде дроби, потому что любое число делиться на единицу, например:
Вопросы к теме:
Как вы думаете любую можно дробь сократить или нет?
Ответ: нет, бывают сократимые дроби и несократимые дроби.
Проверьте справедливо ли равенство: \(\frac = \frac \)?
Ответ: распишем дробь \(\frac = \frac = \frac \)
, да справедливо.
Пример №1:
а) Найдите дробь со знаменателем 15, равную дроби \(\frac \)
.
б) Найдите дробь с числителем 8, равную дроби \(\frac \)
.
Решение:
а) Нам нужно чтобы в знаменателе стояло число 15. Сейчас в знаменателе число 3. На какое число нужно умножить цифру 3, чтобы получить 15? Вспомним таблицу умножения 3⋅5. Нам надо воспользоваться основным свойством дробей и умножить и числитель, и знаменатель дроби \(\frac \)
на 5.
б) Нам нужно чтобы в числителе стояло число 8. Сейчас в числители стоит число 1. На какое число нужно умножить цифру 1, чтобы получить 8? Конечно, 1⋅8. Нам надо воспользоваться основным свойством дробей и умножить и числитель, и знаменатель дроби \(\frac \) на 8. Получим:
Пример №2:
Найдите несократимую дробь, равную дроби: а)\(\frac \),
б) \(\frac \)
.
Пример №3:
Запишите число в виде дроби: а) 13 б)123
Урок по теме равенство дробей, 5 класс, учебник Никольский С. М. и др.
Успейте воспользоваться скидками до 50% на курсы «Инфоурок»
Напоминаем, что в соответствии с профстандартом педагога (утверждён Приказом Минтруда России), если у Вас нет соответствующего преподаваемому предмету образования, то Вам необходимо пройти профессиональную переподготовку по профилю педагогической деятельности . Сделать это Вы можете дистанционно на сайте проекта «Инфоурок» и получить диплом с присвоением квалификации уже через 2 месяца!
Только сейчас действует СКИДКА 50% для всех педагогов на все 111 курсов профессиональной переподготовки! Доступна рассрочка с первым взносом всего 10%, при этом цена курса не увеличивается из-за использования рассрочки!
Карточка для практической работы.docx
Карточка 1
Карточка 2
Задание. Посмотрите на рисунки и сделайте вывод о равенстве дробей.
Подсказка 1. Какая часть кругов и квадратов закрашена?
Подсказка 1. Запишите дроби, обозначающие закрашенную часть каждой фигуры.
Подсказка 2. Сделайте вывод о равенстве полученных дробей.
Выбранный для просмотра документ Технологическая карта урока математики в 5 классе.docx
Технологическая карта урока математики в 5 классе
Тема урока: «Равенство дробей» (учебник «Математика 5», Никольский С. М., Потапов М. К. и др.)
Цели (задачи) урока:
— познакомить учащихся с основным свойством дроби, показать его применение для сокращения дробей;
— учить сокращать дроби и определять несократимые;
— развивать умение применять математические знания для решения практических задач;
— воспитывать культуру поведения при групповой работе;
— воспитывать интерес к предмету.
— знать основное свойство дроби, определение сокращения дробей и несократимой дроби;
— уметь приводить дроби к новому знаменателю, сокращать дроби;
понимать смысл поставленной задачи; инициатива, находчивость, активность при решении математических задач;
— умение видеть математическую задачу в контексте проблемной ситуации;
— понимание сущности алгоритмических предписаний и умение действовать в соответствии с предложенным алгоритмом.
Тип урока, педагогическая технология
Изучение нового, технология проблемного диалога.
Доска, мел, компьютер с мультимедийным проектором, интерактивная доска, раздаточные материалы, ролик с физкультминуткой, листы самооценки
Опорные понятия, термины
Новые понятия и связи между ними
Сократимая дробь, несократимая дробь
Контроль, самоконтроль на уроке
Используемые методы, приёмы, формы
Универсальные учебные действия
I . Организационный момент.
Тетради вы получили на перемене, так как домашнее задание все выполнили и вопросов по нему не возникло.
Проявление доброжелательного внимания.
Проверка наличия учебных средств, рациональное размещение на парте
Взаимное приветствие, контроль присутствующих, проверка готовности кабинета к уроку.
Готовность учащихся к обучению, деятельности
II . Актуализация знаний
Давайте вспомним то, что мы изучали на прошлых уроках. Что мы изучали? (дроби)
1. Что записывается под чертой дроби?
2.Что он показывает?
3.Что записывается над чертой дроби?
4.Что он показывает?
5.Какое действие заменяет черта дроби?
6. Найти ¼ от 120.
(на сколько частей разделили целое)
(сколько таких частей взяли)
Тестовые задания, ответы даются с помощью сигналов разного цвета
Регулятивные: волевая саморегуляция.
Личностные : действие смыслообразования, мотивация учения
планирование учебного сотрудничества с учителем и со сверстниками.
Готовность к открытию нового
III . Постановка проблемы
Сейчас я предлагаю вам решить такую задачу-сказку. Проблемная задача
В некотором царстве, в некотором государстве жил – был царь, и было у него три сына. Вот как–то созвал он своих сыновей и говорит: “Сыночки вы мои милые, видно, пришло мне время уходить на покой. Собрал я вас, чтобы разделить между вами наследство, наше царство – государство. Да вот беда – учёные–то наши видно что–то напутали. Тебе, старший мой сын, отписано нашего государства, тебе, средний мой сын, — , а тебе, младшенький мой — ”. Возмутился младший сын: “За что меня–то обделили?” И рассорились братья меж собой. А царь издал указ “Кто сумеет ошибку найти и сынов моих помирить, того ждёт царская награда. ”
Ребята, а мы с вами можем помирить царя и его сыновей? Что для этого нам нужно выяснить?
Значит, чему, вероятно, мы будем учиться на сегодняшнем уроке?
И давайте попробуем сформулировать тему нашего урока.
Откройте свои тетради, подпишите в них число, классная работа и тему урока «Равенство дробей».
(Равны дроби или нет)
(Узнавать, равны дроби или нет)
формулирование цели урока
Постановка проблемы, формулировка цели, темы урока
IV . Планирование решения учебной задачи
А сейчас помогите мне составить план урока, то есть определить то, чем мы будем заниматься.
(1. Научиться определять, равны дроби или нет.
Регулятивные: планирование познавательной деятельности
Составление плана урока
Древняя китайская поговорка гласит: «Я слышу и забываю, я вижу и запоминаю, я делаю и понимаю». И для того чтобы понять тему сегодняшнего урока, проведем практическую работу.
У каждого из вас на столе лежат карточки.
Возьмите карточку 1.
Поработаем с квадратом. Разделите квадрат на четыре равные части и закрасьте три из них. Какая часть
квадрата оказалась закрашенной?
Каждую четверть квадрата разделите на 4 части. На сколько частей теперь
А сколько таких частей в трех закрашенных четвертях квадрата?
Какая часть квадрата закрашена?
Что же вы можете сказать о дробях ¾ и 12/16?
Возьмите карточку 2 и ответьте на вопросы:
1. Какая часть от целого изображена и закрашена на рисунках? Подпишите под каждым кругом, какая его часть закрашена.
Что вы можете сказать об этих дробях?
Значит, одну и ту же часть можно записать по–разному.
Давайте внимательно посмотрим на эти дроби. Как можно из одной дроби получить другую, например, как из ¾ получить 12/16?
А как из 4/8 получить 2/4, ½?
Делаем вывод, формулируем правило:
Ребята, свойство, которое мы с вами сейчас сформулировали, очень важное и называется оно основным свойством дроби.
Запишите, пожалуйста, с доски правило и формулы.
a, b, c – натуральные. Обратите на это внимание, это очень важно, т. к. на 0 делить нельзя.
(умножить числитель и знаменатель на 4)
(поделить числитель и знаменатель на 2, на 4)
(При умножении и делении числителя и знаменателя дроби на одно и то же число (кроме 0) её величина не изменится .)
Познавательные: сравнение, обобщение, формулирование вывода
Выполнение практической работы. Формулировка основного свойства дроби
VI . Формирование способа действия
Представьте следующие дроби: в виде дроби со знаменателем 12.
Представьте следующие дроби: 
в виде дроби со знаменателем 3.
Письменно: замените дроби 
равными им дробями с меньшими знаменателями. Ребята, преобразование, которое мы с вами только что выполняли, называется сокращением дробей
.
Запишите с экрана, что такое сокращение дроби.
Разделить числитель и знаменатель одной дроби на одно и то же число, значит сократить её.
Если числитель и знаменатель дроби не имеют общих простых делителей, то эта дробь называется несократимой.
Выполняют задания. Записывают в тетради, что такое сокращение дробей и что такое несократимая дробь
Регулятивные: коррекция действий и результатов
Первичное усвоение и применение основного свойства дроби, определения сокращения дробей, несократимой дроби
VII . Формирование новых знаний и способов действия
Давайте теперь вернёмся к плану нашего урока. Что мы уже сделали? Что ещё нужно сделать?
Отлично. Сейчас я предлагаю вам немножко поиграть.
Объединимся в две группы. Первая группа (I ряд) из всех предложенных дробей
выберет дроби, равные 1/2, а вторая группа (II ряд) — дроби, равные 1/3.
А теперь проверим, как вы справились с заданием.
Теперь вернёмся к сказочной задаче, которая вызвала у нас затруднения в начале урока. Скажите, теперь вы можете ответить на вопрос задачи: напутали ли что-то советники царя?
А сейчас ещё немного потренируемся. Возьмите в руки листочки с тренировочными упражнениями, внимательно прочтите задания и выполняйте их.
(Научились определять, равны ли дроби. Нужно потренироваться)
(Теперь можем. Наследство поделили поровну, т. к. представленные дроби равны)
Тренировочные упражнения на карточках
Работа с интерактивной доской. Работа в группах
Коммуникативные: определение целей и функций участников в группе; инициативное сотрудничество; контроль, коррекция, оценка действий партнера.
Применение и отработка новых знаний и способов действия
VIII . Подведение итогов урока, рефлексия, домашнее задание
Слайд 2
«Тот, кто учится самостоятельно, преуспевает в семь раз больше, чем тот, которому все объяснили». (Артур Гитерман, немецкий поэт)
Слайд 3
«Математика является фундаментом, на котором строится способность правильно воспринимать действительность». И.Г. Песталоцци
Слайд 4
ЦЕЛИ УРОКА: создание условий для:
Формирования понятия дроби, равенства дробей, для формирования способов смыслотворчества; Развития способности к обобщению, сравнению, эмоционального восприятия математических объектов; Формирования представления о математике как способе познания, сохранения и гармоничного развития мира, как части общечеловеческой культуры.
Слайд 5
Давным давно…
Слайд 6
Дроби появились в глубокой древности. При разделе добычи, при измерениях величин, да и в других похожих случаях люди встретились с необходимостью ввести дроби. Древние египтяне уже знали, как поделить два предмета на троих, для этого числа у них был специальный значок. Это была единственная дробь в обиходе египетских писцов, у которой в числителе не стояла единица, - все остальные дроби непременно имели в числителе 1 (так называемые основные дроби). Если египтянину нужно было использовать другие дроби, он представлял их в виде суммы основных дробей.
Слайд 7
Хочу всё знать и уметь
– А как половину записать цифрами? Возьмите полоску бумаги. Разделите её на 2 равные части, свернув полоску пополам. По линии сгиба проведите черту. – На сколько равных частей разделили полоску? Запишем число 2 под чертой вот так: . Черту называют дробной, ачисло, записанное под чертой – знаменателем. Закрасьте одну частькраснымцветом. – Сколько частей закрасиликраснымцветом? Запишем число 1 над дробной чертой вот так: . Число, записанное над чертой, называют числителем. ВЫВОД:красным цветом закрашена (одна вторая) часть полоски (на практике обозначает половину некоторой величины) (На 2 части) (1 часть)
Слайд 8
3) Решите задачу:
Шустрый мышонок успел взять кусок сыра и вернулся ещё за сыром, но не тут-то было… Какую часть сыра взял мышонок, и какая часть сыра досталась лисе? Какую часть сыра составляет каждый кусок? Сверим ответы: 1) 2) 3) ; ; . ЗАПОМНИТЕ! …называют обыкновенными дробями или короче – дробями. числитель дробная черта Знаменатель не равен нулю! знаменатель(на сколько разделили)
Слайд 9
Физминутка
Закрашенная часть каждой фигуры обозначена дробью. Я буду показывать на каждую фигуру (может, и не один раз), а вы внимательно смотрите, думайте и выполняйте упражнения: если дробь записана верно, то все прыгайте на месте; если дробь записана не верно, то все приседайте.
Слайд 10
Задача 1
1. Сколько в сутках часов? 2. Какая часть суток пройдёт, если будильник скоро будет показывать: а)1 час, б)3 часа, в)5 часов, г)11часов? 2.а)1 ч – суток; б) 3 ч – суток; в)5 ч – суток; г)11 ч – суток. Ответ: 1.24 часа
Слайд 11
Задача 2
Гомер прячет своего тела. Сколько сантиметров тела спрятано, если рост Гомера 160 см? Решение. 1) 160: 4 = 40 (см) – на каждую часть роста. 2) 40 ∙ 3 = 120 (см) – спрятано. Ответ:120 см. Замечание:действия можно записать одним выражением: 160: 4 ∙ 3 = 120 (см) ВЫВОД:чтобы найти числа 160, можно это числоразделить на знаменатель дроби и результатумножить на числитель. 160 см
Слайд 12
Тест № 1
Дробь - это дробь: А)Простая В)Сложная С)Обыкновенная D)Барабанная Подсказки: 1) класс 2) компьютер
Слайд 13
Тест № 2
Как называются числа в дроби? А) Число и знамя В) Знаменатель и числитель С) Числитель и знаменатель D) Делимое и делитель Подсказки: 1) класс 2) компьютер
Слайд 14
В древней Руси основными дробями были: 1/2- «половина» или «пол»; 1/3- «треть»; 1/6- «полтрети». А как называли люди в то время дробь 1/24 ? пол-пол-полтрети
Слайд 15
Половина от половины числа равна половине. Какое это число? 1/2 2
Слайд 16
Дымок
Электропоезд идёт с востока на запад со скоростью 60 км/ч. В том же направлении- с востока на запад- дует ветер, но со скоростью 50 км/ч. В какую сторону отклоняется дым поезда? У электропоезда нет дыма
Урок математики №97
Тема: Равенство дробей
Планируемые результаты:
Личностные:
Готовность и способность к выполнению норм и требований школьной жизни, прав и обязанностей ученика.
Выражение устойчивого учебно- познавательного интереса.
Метапредметные :
Регулятивные
1.Ставить цель учебной деятельности на основе преобразования практической задачи в познавательную:
Выполнять действия:
Разграничения знания и незнания;
Формулирования ответа на вопрос о содержании незнания;
Формулирования цели по образцу под руководством учителя в проблемной ситуации.
Познавательные
1.Анализировать и осмысливать текст задачи;
2. Давать определение понятиям;
Коммуникативные
1. Использовать адекватные языковые средства для отображения своих чувств, мыслей, мотивов и потребностей;
2. Задавать вопросы, необходимые для организации собственной деятельности и в сотрудничестве с партнером.
Этапурока
Деятельность
учителя
Деятельность учащихся
1. Организационный момент
Готовятся к уроку.
2. Актуализация знаний
Прочитайте представленные дроби
Назовите числитель
Назовите знаменатель
Что означает знаменатель дроби?
Что означает числитель дроби?
Какая часть божьих коровок попала в ловушку? Запишите результат в виде дроби в тетради
Найдите НОД(4;8)
Найдите НОД(9;12)
Найдите НОД(24;16)
Девять десятых, пять восьмых, восемь одиннадцатых
Девять, пять, восемь
Десять, восемь, одиннадцать
На сколько частей разделили целое
Сколько частей взято
7/16
3. Постановка проблемы
Найдите равные натуральные числа
Найдите равные рациональные числа
Чем мы сегодня будем заниматься на уроке?
Запишите в тетради число и тему урока
15=15, 87=87, 24=24, 8=8
Выяснять, бывают ли равными рациональные числа (дроби)
4. Открытие нового знания
К бабушке на дачу приехали внуки Ваня, Петя и Коля, чтобы помочь прополоть грядки. Грядки все ровненькие, совершенно одинаковые. Бабушка дала внукам задание:
Ваня должен прополоть 4/6 грядки с морковью,
Петя должен прополоть 6/9 грядки с луком,
Коля должен прополоть 8/12 грядки с чесноком.
Через час бабушка увидела результат. Какой?
Работая в парах, покажите на рисунке (макет грядки) часть выполненной работы каждым внуком.
1 ряд: Ваней
2 ряд: Петей
3 ряд: Колей
Что получили? Кто из внуков выполнил большую часть работы?
Какую часть грядки прополол каждый внук?
Какой вывод мы можем сделать?
Получают макеты грядок (прямоугольник).
Закрашивают 4/6
Закрашивают 6/9
Закрашивают 8/12
Результаты вывешивают на доску напротив имени внука.
Внуки пропололи одинаковые части.
2/3
Дроби бывают равными.
(на слайде ставят знак равенства)
5.Физминутка
Повторяют движения за учителем
6. Первичное восприятие и усвоение нового теоретического учебного материала
Но если дроби равны, то почему они выглядят, как неравные, по разному?
Как каждую представить в виде 2/3?
Найдите НОД числителя и знаменателя каждой дроби
Что можно сделать с числителем и знаменателем каждой дроби?
(записывает на слайде)
Какие дроби получили?
Деление числителя и знаменателя дроби на одно и то же число называют сокращением дробей.
Можно ли дробь 2/3 снова сделать в виде разных числителя и знаменателя? Как?
Таким образом, любая дробь обладает свойством умножения или деления числителя и знаменателя на одно и то же число
(ОСНОВНОЕ СВОЙСТВО ДРОБИ)
Составьте основное свойство дроби, заполнив пробелы в тексте
НОД(4;6)=2
НОД(6;9)=3
НОД(8;12)=4
Разделить на одно и то же число 2, 3, 4 соответственно
Одинаковые по виду
Да.
Умножить числитель и знаменатель на одно и то же число.
Собирают предложение
7. Применение теоретических положений в условиях выполнения упражнений
Вернёмся к слайду №5
Какие дроби здесь равные?
Проверьте справедливость равенства, используя правило.
№ 762(а, б, в, г)
№ 764 (а, б, в, г)
Правило:
1. С помощью умножения или деления числителя и знаменателя получена вторая дробь?
2. На какое число умножили (разделили) первый числитель, чтобы получить второй?
3. На какое число умножили (разделили) первый знаменатель, чтобы получить второй?
4. Сравни полученные числа, сделай вывод.
(группируют дроби)
Проверяют, проговаривая правило.
8 Самостоятельное использование сформированных умений и навыков
Найдите неизвестный числитель или знаменатель, используя основное свойство дроби
№768(а, б, в, г)
Правило:
1. С помощью умножения
или деления числителя и
знаменателя получена
вторая дробь?
2. Найти известные
числитель-числитель
( знаменатель-знаменатель)
3. Большее число разделить
на меньшее
3. Умножить или разделить
на результат другой
числитель (знаменатель)
а) 1) деления
2)27 и 3
3) 27:3=9
4)18:9 = 2
х= 2
б) 1) умножения
2) 60 и 5
3)60:5=12
п.4.2,
№ 760, 762(д-з),763(д-з)
открывают дневники и записывают домашнее задание.
10. Рефлексия
Посмотрите на экран, найдите смайлик, соответствующий вашему настроению, на доске поставьте автограф соответствующего цвета
Подходят к доске, ставят автограф
«Если ты захочешь делить единицу, математики высмеют тебя и не позволят это делать», -
писал основатель афинской Академии Платон.
Но не все древнегреческие математики соглашались с Платоном. С дробями свободно обращались Архимед и Герон Александрийский.
Просмотр содержимого документа
«Равенство дробей.»
Технологическая карта урока.
| Предмет | Математика | Класс | ||||||||||
| Тема урока | Равенство дробей. |
|||||||||||
| Тип урока | Изучение нового материала |
|||||||||||
| Цели | образовательные - познакомиться с правилом сравнения дробей с одинаковыми занменателями, с разными занменателями; развивающие - развитие логического мышления, доказательной математической речи, наблюдательности, смекалки; воспитательные - воспитание взаимоуважения, целеустремленности, самостоятельности; создание благоприятных условий, эмоционального и психологического климата в классе для восприятия учебного материала. |
|||||||||||
| Планируемые образовательные результаты |
||||||||||||
| Предметные | Метапредметные | Личностные |
||||||||||
| Знать понятия: равные дроби, сократимые дроби, несократимые дроби, уметь приводить дроби к общему знаменателю, знать понятие наименьший общий знаменатель, уметь приводить дроби к наименьшему общему знаменателю; Формулировать и записывать с помощью букв основное свойство обыкновенной дроби, Преобразовывать обыкновенные дроби, сравнивать и упорядочивать их, Находить дробь, равную данной. | Развивать умение видеть математическую задачу в контексте проблемной ситуации в других дисциплинах, в окружающей жизни; формировать умение работать в группах. | Развивать умение слушать; ясно, точно, грамотно излагать свои мысли в устной и письменной речи; развивать креативность мышления, инициативу, находчивость, активность при решении математических задач; формировать представления о математике как способе познания, сохранения и гармоничного развития мира, как части общечеловеческой культуры, о значимости математики в развитии цивилизации и современного общества. |
||||||||||
| Организационная структура урока |
||||||||||||
| Этап урока | Деятельность | Время |
||||||||||
| учителя | учащихся |
|||||||||||
| Организационный | Коммуникативные: планирование учебного сотрудничества с учителем и сверстниками. Регулятивные: организация своей учебной деятельности Личностные: мотивация учения. | Приветствие, проверка подготовленности к учебному занятию, организация внимания детей. | Включаются в деловой ритм урока. | |||||||||
| Мотивация и актуализация | Коммуникативные: планирование учебного сотрудничества с учителем и сверстниками; Познавательные: самостоятельное выделение и формулирование познавательной цели. Логические: – формулирование проблемы | Устный счет: Устные упражнения
2. Найдите среди чисел равные и объясните: ; ; 1; ; ; ; ; ; . 3. Найдите НОК чисел (рациональным способом): а) 4 и 8; б) 12 и 16; в) 12 и 11; г) 5; 10; 11. 4. Существует ли такое натуральное число, которое в произведении с числом 6 дало бы число: а) 18; б) 27; в) 3? Ответ обоснуйте. | Отвечают на поставленные вопросы | |||||||||
| Открытие нового знания | Коммуникативные: использование средств языка и речи для получения и передачи информации, участие в продуктивном диалоге; Познавательные : анализ, логические рассуждения, выбор наиболее эффективных способов решения задач. | Умножьте числитель и знаменатель дроби , а дроби Что можно заметить? (У дробей стал одинаковый знаменатель). Говорят, что дроби привели к общему знаменателю. А чем является этот знаменатель для чисел 3 и 5. (Кратным) Общим знаменателем дробей может быть любое общее кратное их знаменателей, но обычно дроби приводят к наименьшему знаменателю. Давайте найдем НОК(3,5)=15. Приведем дроби к знаменателю 15. Что необходимо для этого? Дробь умножить на 3 , а дробь на 5. 3 и 5 называются дополнительными множителями. Давайте попытаемся вывести правило приведения дробей к общему знаменателю. (...) Приведение дробей к наименьшему общему знаменателю (НОЗ) Чтобы привести несколько дробей к наименьшему общему знаменателю, надо: 1) найти наименьшее общее кратное знаменателей этих дробей, оно и будет их наименьшим общим знаменателем; 2) разделить наименьший общий знаменатель на знаменатели данных дробей, т.е. найти для каждой дроби дополнительный множитель; 3) умножить числитель и знаменатель каждой дроби на ее дополнительный множитель. Пример.
Приведем к наименьшему общему знаменателю дроби Получим | Записывают, обсуждают, комментируют | |||||||||
| Закрепление знаний и навыков | Познавательные: анализ, логические рассуждения, выбор наиболее эффективных способов решения задач. Регулятивные: проявляют познавательную инициативу Коммуникативные: использование средств языка и речи для получения и передачи информации, участие в продуктивном диалоге. | № 803 (1,2 ст) Решение: б) 15/20 и 18/24; 90/120 = 90/120; в) 20/35 и 16/28; 80/140=80/140; е)30/48 и 36/56; 210/336 216/336 ж) 56/84 и 82/108; 504 /756 574 /756 | 1 ученик у доски, стальные решаю самостоятельно. | |||||||||
| Самостоятельная работа | Личностные : проводят самооценку Познавательные: Коммуникативные: | Вариант 1 Решение: 65:5*13=169 кг. Решение: 117/9*4= 13*4=52 девочек . 117-52=65 мальчиков.
Вариант 2 Решение: 36:2*9=162 стр. Решение: 136:8*5=17*5=85 легк. машины 136-85=51 груз. машины Привести дроби к общему знаменателю.
| ||||||||||
| Подведение итогов. Домашнее задание. | Личностные : проводят самооценку Познавательные: сформирован навык для правильного выполнения домашнего задания Коммуникативные: планируют сотрудничество, определяют кому нужна помощь | Дает краткое пояснение каждого номера домашнего задания. № 803 (3,4 ст), 793 (письменно) | Записывают домашнее задание в дневник, делая необходимые пометки. | |||||||||
| Рефлексия | Личностные : проводят самооценку, учатся адекватно принимать причины успеха (неуспеха) Познавательные: проводят рефлексию способов и условий своих действий Коммуникативные: планируют сотрудничество, используют критерии для обоснования своих суждений | Задает вопросы: Было трудно … Было интересно … Я научился … Меня удивило | Выделение и осознание учащимися того, что уже усвоено и что ещё подлежит усвоению, осознание качества и уровня усвоения Выражают свои мысли | |||||||||
Вариант 1
За день магазин продал 65 кг яблок, что составляет 5/13 от веса всех яблок, завезенных в магазин. Сколько килограммов яблок было завезено?
В пятых классах учится 117 учеников, из них 4/9 составляют девочки. Сколько мальчиков учится в пятых классах.
Привести дроби к общему знаменателю.
Вариант 2
За два дня машинистка напечатала 36 страниц, что составляет 2/9 всей рукописи. Сколько страниц в этой рукописи?
В автопарке было 136 машин, из них 5/8 составляли грузовые машины, а оставшиеся легковые. Сколько легковых машин было в автопарке.
Привести дроби к общему знаменателю.
Вариант 1
За день магазин продал 65 кг яблок, что составляет 5/13 от веса всех яблок, завезенных в магазин. Сколько килограммов яблок было завезено?
В пятых классах учится 117 учеников, из них 4/9 составляют девочки. Сколько мальчиков учится в пятых классах.
Привести дроби к общему знаменателю.
Вариант 2
За два дня машинистка напечатала 36 страниц, что составляет 2/9 всей рукописи. Сколько страниц в этой рукописи?
В автопарке было 136 машин, из них 5/8 составляли грузовые машины, а оставшиеся легковые. Сколько легковых машин было в автопарке.
Привести дроби к общему знаменателю.
Технологическая карта урока математики в 5 классе
Тема урока: «Равенство дробей» (учебник «Математика 5», Никольский С. М., Потапов М. К. и др.)
Цели (задачи) урока:
образовательные:
- познакомить учащихся с основным свойством дроби, показать его применение для сокращения дробей;
Учить сокращать дроби и определять несократимые;
развивающие:
Развивать умение применять математические знания для решения практических задач;
воспитательные :
Воспитывать культуру поведения при групповой работе;
Воспитывать интерес к предмету.
Результаты урока
предметные:
Знать основное свойство дроби, определение сокращения дробей и несократимой дроби;
Уметь приводить дроби к новому знаменателю, сокращать дроби;
личностные:
понимать смысл поставленной задачи; инициатива, находчивость, активность при решении математических задач;
метапредметные:
Умение видеть математическую задачу в контексте проблемной ситуации;
Понимание сущности алгоритмических предписаний и умение действовать в соответствии с предложенным алгоритмом.
Тип урока, педагогическая технология
Изучение нового, технология проблемного диалога.
Оборудование урока
Доска, мел, компьютер с мультимедийным проектором, интерактивная доска, раздаточные материалы, ролик с физкультминуткой, листы самооценки
Опорные понятия, термины
Обыкновенная дробь
Новые понятия и связи между ними
Сократимая дробь, несократимая дробь
Контроль, самоконтроль на уроке
Этапы
Деятельность учителя
Деятельность ученика
Используемые методы, приёмы, формы
Универсальные учебные действия
Результат взаимодействия
I . Организационный момент.
Тетради вы получили на перемене, так как домашнее задание все выполнили и вопросов по нему не возникло.
Проявление доброжелательного внимания.
Проверка наличия учебных средств, рациональное размещение на парте
Взаимное приветствие, контроль присутствующих, проверка готовности кабинета к уроку.
Готовность учащихся к обучению, деятельности
II . Актуализация знаний
Давайте вспомним то, что мы изучали на прошлых уроках. Что мы изучали? (дроби)
1. Что записывается под чертой дроби?
2.Что он показывает?
3.Что записывается над чертой дроби?
4.Что он показывает?
5.Какое действие заменяет черта дроби?
6. Найти ¼ от 120.
8. Найти 3/7 от 140.
(знаменатель)
(на сколько частей разделили целое)
(числитель)
(сколько таких частей взяли)
(деление)
(30)
(60)
Тестовые задания, ответы даются с помощью сигналов разного цвета
Регулятивные: волевая саморегуляция.
Личностные : действие смыслообразования, мотивация учения
Коммуникативные:
планирование учебного сотрудничества с учителем и со сверстниками.
Готовность к открытию нового
III . Постановка проблемы
Сейчас я предлагаю вам решить такую задачу-сказку. Проблемная задача
В некотором царстве, в некотором государстве жил – был царь, и было у него три сына. Вот как–то созвал он своих сыновей и говорит: “Сыночки вы мои милые, видно, пришло мне время уходить на покой. Собрал я вас, чтобы разделить между вами наследство, наше царство – государство. Да вот беда – учёные–то наши видно что–то напутали. Тебе, старший мой сын, отписано нашего государства, тебе, средний мой сын, - , а тебе, младшенький мой - ”. Возмутился младший сын: “За что меня–то обделили?” И рассорились братья меж собой. А царь издал указ “Кто сумеет ошибку найти и сынов моих помирить, того ждёт царская награда!!!”
Ребята, а мы с вами можем помирить царя и его сыновей? Что для этого нам нужно выяснить?
Значит, чему, вероятно, мы будем учиться на сегодняшнем уроке?
И давайте попробуем сформулировать тему нашего урока.
Откройте свои тетради, подпишите в них число, классная работа и тему урока «Равенство дробей».
(Равны дроби или нет)
(Узнавать, равны дроби или нет)
(Равенство дробей)
Проблемная задача
Регулятивные:
формулирование цели урока
Постановка проблемы, формулировка цели, темы урока
IV . Планирование решения учебной задачи
А сейчас помогите мне составить план урока, то есть определить то, чем мы будем заниматься.
(1. Научиться определять, равны дроби или нет.
2. Потренироваться.)
Регулятивные: планирование познавательной деятельности
Составление плана урока
V . Поиск решения
Древняя китайская поговорка гласит: «Я слышу и забываю, я вижу и запоминаю, я делаю и понимаю». И для того чтобы понять тему сегодняшнего урока, проведем практическую работу.
У каждого из вас на столе лежат карточки.
Возьмите карточку 1.
Поработаем с квадратом. Разделите квадрат на четыре равные части и закрасьте три из них. Какая часть
квадрата оказалась закрашенной?
Каждую четверть квадрата разделите на 4 части. На сколько частей теперь
разделен квадрат?
А сколько таких частей в трех закрашенных четвертях квадрата?
Какая часть квадрата закрашена?
Что же вы можете сказать о дробях ¾ и 12/16?
Возьмите карточку 2 и ответьте на вопросы:
1. Какая часть от целого изображена и закрашена на рисунках? Подпишите под каждым кругом, какая его часть закрашена.
Что вы можете сказать об этих дробях?
Значит, одну и ту же часть можно записать по–разному.
Давайте внимательно посмотрим на эти дроби. Как можно из одной дроби получить другую, например, как из ¾ получить 12/16?
А как из 4/8 получить 2/4, ½?
Делаем вывод, формулируем правило:
Ребята, свойство, которое мы с вами сейчас сформулировали, очень важное и называется оно основным свойством дроби.
Запишите, пожалуйста, с доски правило и формулы.
a, b, c – натуральные. Обратите на это внимание, это очень важно, т. к. на 0 делить нельзя.
(¾ квадрата).
(4∙4=16 частей).
(3∙4=12 частей).
(они равны)
(умножить числитель и знаменатель на 4)
(поделить числитель и знаменатель на 2, на 4)
(При умножении и делении числителя и знаменателя дроби на одно и то же число (кроме 0) её величина не изменится .)
Практическая работа
Познавательные: сравнение, обобщение, формулирование вывода
Коммуникативные:
формулирование высказываний
Выполнение практической работы. Формулировка основного свойства дроби
VI . Формирование способа действия
Запишите с экрана, что такое сокращение дроби.
Разделить числитель и знаменатель одной дроби на одно и то же число, значит сократить её.
Если числитель и знаменатель дроби не имеют общих простых делителей, то эта дробь называется несократимой.
Выполняют задания. Записывают в тетради, что такое сокращение дробей и что такое несократимая дробь
Индивидуальная работа
Регулятивные: коррекция действий и результатов
Первичное усвоение и применение основного свойства дроби, определения сокращения дробей, несократимой дроби
VII . Формирование новых знаний и способов действия
Давайте теперь вернёмся к плану нашего урока. Что мы уже сделали? Что ещё нужно сделать?
Отлично. Сейчас я предлагаю вам немножко поиграть.
Объединимся в две группы. Первая группа (I ряд) из всех предложенных дробей
выберет дроби, равные 1/2, а вторая группа (II ряд) - дроби, равные 1/3.
А теперь проверим, как вы справились с заданием.
Теперь вернёмся к сказочной задаче, которая вызвала у нас затруднения в начале урока. Скажите, теперь вы можете ответить на вопрос задачи: напутали ли что-то советники царя?
А сейчас ещё немного потренируемся. Возьмите в руки листочки с тренировочными упражнениями, внимательно прочтите задания и выполняйте их.
(Научились определять, равны ли дроби. Нужно потренироваться)
(Теперь можем. Наследство поделили поровну, т. к. представленные дроби равны)
Тренировочные упражнения на карточках
Работа с интерактивной доской. Работа в группах
Коммуникативные: определение целей и функций участников в группе;инициативное сотрудничество; контроль, коррекция, оценка действий партнера.
Применение и отработка новых знаний и способов действия
VIII . Подведение итогов урока, рефлексия, домашнее задание
Что новое Вы узнали на уроке? Как вы это узнали? Все ли пункты плана урока мы успели выполнить? Какой способ деятельности (практическая работа, самостоятельный поиск) Вам понравился больше всего? Чему старались научиться на уроке (обсуждаем предметные и метапредметные умения)?
(Основное свойство дроби, что значит сократить дробь, какая дробь называется несократимой)
Регулятивные: рефлексия результатов и способов деятельности
Подведение итогов урока, получение домашнего задания