В продолжение предыдущей темы, в которой рассматривались примеры решения тригонометрических функций, этот видеоурок знакомит учащихся с арккосинусом и решением уравнения cos t = a.
Рассматривается пример решения уравнения cos t =1/4 . Используя числовую окружность, находим точки с координатой х = 1/4, на графике отметим эти точки как M(t 1) и N(t 2).
На графике видно, что t 1 - это длина АМ, а t 2 - это длина AN. По-другому можно сказать, что t 1 = arccos 1/4; t 2 = - arccos 1/4. Решение уравнения t = ± arccos ¼ + 2πk.
Таким образом, arccos 1/4- это число (длина АМ), косинус которого равен 1/4. Это число принадлежит отрезку от 0 до π/2, т.е. первой четверти окружности.
Далее рассматривается решение уравнения cos t = - 1/4. По аналогии с предыдущим примером, t = ± arccos (-1/4 + 2πk. Можно сказать, чтоarccos (-1/4 - это число (длина дуги АМ), косинус которого равен - ¼ и это число принадлежит II четвертиокружности, т.е. отрезкуот π/2 до π.
Исходя из двух примеров, дается определение арккосинусу: если модуль а меньше или равен 1, то arccos а это такое число из отрезка от 0 до π, косинус которого равен а. Тогда выражение cos t = a при модуле а меньше или равно 1 может иметь вид t = ± arccos a + 2πk. Далее указаны значения t при cos t = 0; cos t = 1; cos t = - 1.
Автор приводит пример 1. Найти решение выражения arcсos. Укажем, что данное значение arcсos равно t , следовательно, cos t равен этому значению, где t принадлежит отрезку от 0 до π. Пользуясь таблицей значений, найдем, что cos t соответствует значение t =π/6. Найдем соответствующее значение косинуса, где π/6 принадлежит отрезку от 0 до π.
Разберем пример 2. Вычислить arcсos отрицательного числа. Допустим, что arcсos этого числа равен, следовательно, cos t равен этому числу, где t принадлежит отрезку от 0 до π. По таблице значений увидим, какое значение соответствует cos t, это t = 5π/6. Т.е. cos 5π/6 это минус корень из трех, деленный на два, где 5π/6 принадлежит отрезку от 0 до π.
Далее автор рассматривает теорему: для любого а, принадлежащего отрезку от минус одного до одного, действительно равенство arccos a + arccos (-a) =π.При доказательстве для определенности считаем, что а > 0, тогда - а < 0. На окружности отметим arccos a, это длина АК, и arccos (- a), это длина TС. АК = ТС, т.к. они симметричны относительно вертикального диаметра окружности ТК. Следовательно, arccos a + arccos (- а) = АК + АТ = ТС + АТ =π. Из написанного равенства можно сделать вывод, что arccos (- а) = π- arccos a, где 0 ≤ а ≤ 1.
Когда а > 0, arccos a принадлежит I четверти окружности (отмечено на рисунке), а когда а < 0, arccos a принадлежит II четверти.
Рассмотрим еще один пример. Решить выражение, где cos t равен отрицательному числу. Запишем, чему в данном случае равно t.Тогда найдем величину арккосинуса, это 3π/4. Подставим найденное значение arcсos в значение t и получим, что t = ± 3π/4+ 2πk.
Разберем решение неравенства cos t. Для решения нам необходимо на числовой окружности найти точки, в которых х равен значению косинуса. Это точки со значениями π/4 и - π/4. Как видно на рисунке, длина дуги MN это - π/4≤ t ≤π/4. Значит ответом неравенства будет - π/4 + 2πk≤ t ≤ π/4+ 2πk.
ТЕКСТОВАЯ РАСШИФРОВКА:
Арккосинус. Решение уравнения cost = a
Рассмотрим решение уравнения cost = .
Учитывая, что cos t - это абсцисса точки М(t) (эм от тэ) числовой окружности, найдем на числовой окружности точки с абсциссой
На числовой окружности отметим точки М(t 1), N(t 2) - точки пересечения прямой х= с этой окружностью.
t 1 - это длина дуги АМ, t 2 - это длина дуги АN, t 2 = - t 1.
Когда математики впервые встретились с подобной ситуацией, они ввели новый символ arccos
arccos (арккосинус одной четвертой).
Тогда t 1 = arccos; t 2 = - arccos
И тогда корни уравнения cost = можно записать двумя формулами:
t = arccos + 2πk, t = - arccos + 2πk или t = arccos + 2πk.
Что значит arccos ?
Это число
(длина дуги АМ), косинус которого равен одной четвертой и это число принадлежит первой четверти, то есть отрезку .
Теперь рассмотрим уравнение
cost = - . Аналогично решению предыдущего уравнения, запишем
t = arccos) + 2πk.
Как понимать arccos(-)? Это число
(длина дуги АМ), косинус которого равен минус одной четвертой и это число принадлежит второй четверти, то есть отрезку [; ].
Дадим определение арккосинусу:
ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Пусть | а | 1(модуль а меньше либо равно единице). Арккосинусом а называется такое число из отрезка , косинус которого равен а.(рис.1)
ПРИМЕР 1. Вычислить arсcos.(арккосинус корень из трех на два)
Решение. Пусть arсcos = t. Тогда cost = и t [ ; ](тэ принадлежит отрезку от нуля до пи). Вспомним значению cos соответствует
(Показать таблицу значений) Значит, t = (пи на шесть), так как cos = и . Значит, arсcos = .
arcos - это длина дуги, но длина дуги окружности это - t в определении cost
(Условно можно сказать что арккосинус это «значение угла», на который ушла точка от М от точки А, если вспомните то мы число t вводили как часть длины окружности, радиуса равного 1(одному), и тогда 2π- вся окружность равна 360°, π- половина окружности =180°, ==60°)
ПРИМЕР 2. Вычислить arсcos(- (арккосинус минус корень из трех на два).
Решение. Пусть arсcos(-) = t. Тогда cost = и t [ ; ](тэ принадлежит отрезку от нуля до пи). Значит, t = (пять пи на шесть), так как cos = - и [; ]. Итак, arсcos) = .
Докажем ТЕОРЕМУ. Для любого а [; ](а из отрезка от минус единицы до единицы) выполняется равенство arccosа+ arccos(-а) = π(сумма арккосинуса а и арккосинуса минус а равна пи).
Доказательство. Для определенности будем считать, что а 0, тогда - а 0. На числовой окружности отметим arcos а (это длина дуги АК) и
arccos(-а) (это длина дуги АТ) (смотри рис. 2)
Из доказанной теоремы следует: arcos (-а) = π - arcos а (арккосинус минус а равен разности пи и арккосинуса а), где 0 а 1(где а больше либо равно нулю и меньше либо равно единице).
Когда а > 0, считают, что arcosа принадлежит первой четверти числовой окружности.
Когда а < 0 считают, что arcosа принадлежит второй четверти числовой окружности.
ПРИМЕР 3. Решить уравнение cost = - .
Решение. Составим формулу решений: t = arccos(-)+ 2πk.
Вычислим значения арккосинуса: arccos(-) = π - arсcos = π - = .
(Согласно соотношению arccos(-) = π - arсcos arсcos , то подставив данное значение в формулу, получим, что arccos(-) =) .
Подставим найденное значение в формулу решений t = arccos(-)+ 2πk и получим значение t: t = + 2πk.
ПРИМЕР 4.Решить неравенство cost .
Решение. Мы знаем, что cost - это абсцисса точки М(t) на числовой окружности. Это значит, что нужно найти такие точки М(t) на числовой окружности, которые удовлетворяют неравенству х.
Прямая х = пересекает числовую окружность в двух точках М и N.
Неравенству х соответствуют точки открытой дуги МN. Точке М соответствует, а точке N -
- (минус пи на четыре).
Значит, ядром аналитической записи дуги МN является неравенство
T , а сама аналитическая запись дуги МN имеет вид
Арккосинус числа а . Решение уравнений cos x = a .
Предмет: алгебра и начала анализа
Класс: 10.
Тема урока: Арккосинус числа а . Решение уравнений cos x = a .
Тип урока: урок изучения нового материала и первичного закрепления знаний.
Оборудование: компьютер, интерактивный доска, раздаточный материал, карточки по рефлексии учебной деятельности (у каждого ученика), плакат с единичной окружностью.
Цели:
Обучающие : ввести понятие арккосинуса числа а; выработать навык вычисления арксинуса числа а ; вывести формулу корней простейших тригонометрических уравнений формулу cos x = a ; научить применять формулу при решении простейших тригонометрических уравнений; изучить частные случай решения тригонометрических уравнений при а равном 0, – 1, 1.
Развивающие : развивать умение кратко, логично, последовательно излагать мысли и суждения; развивать способность аргументировать свои утверждения; развивать умения классифицировать, сравнивать, анализировать и делать выводы.
Воспитательные : обучать навыкам планирования деятельности, работы в оптимальном темпе; воспитывать умение правильно оценивать свои возможности, результаты учебной деятельности, развивать коммуникативные навыки; воспитывать трудолюбие и целеустремленность.
Ход урока.
1. Организационный момент , 2 мин.
Учитель. Здравствуйте ребята. Сегодня на уроке мы будем учиться. (Слайд 1)
а) кратко, логично, последовательно излагать мысли и суждения;
б) аргументировать утверждения;
в) сравнивать, анализировать и делать выводы;
г) оценивать результаты своей учебной деятельности.
Мы помним, что каждый ученик, как всегда, имеет право (запись на доске):
высказывать свое мнение и быть услышанным;
самостоятельно планировать домашнюю самоподготовку;
знать больше учителя и отстаивать свои гипотезы.
2. Актуализация знаний , 3-4 мин.
Устный счет.
Задания проецируются на интерактивный экран. (Слайд 2 )
1. Вычислить значения:
cos
;
cos
;
cos
.
,, принадлежат какой четверти? Точки единичной окружности ,, принадлежат 1 четверти?
Косинус какого угла есть величина положительная?
Если угол принадлежит 1 четверти.
Вывод. Косинус острого угла есть величина положительная.
2. Вычислить значения:
cos
;
cos
;
cos
.
,, принадлежат какой четверти? Точки единичной окружности ,, принадлежат 2 четверти.
Косинус какого угла есть величина отрицательная?
Если угол принадлежит 2 четверти.
Вывод. Косинус тупого угла величина отрицательная.
3. Косинус какого угла равен
; 0; 
; 1; 
; –; –, если 
?
3. Проверка домашней работы , 3-4мин.
3 учащихся заранее готовят на доске решения уравнений. Объяснение ведется по единичной окружности.
1 ученик
cos t = ,
t
= 
+ 2π
k
, где
k
Z
.
Ответ:
t
= + 2π
k
,
где
k
Z
.
2 ученик
cos t = 1,5,
не имеет решения т.к. – 1≤ а ≤1.
Ответ: нет решений.
cos t = 1,
t = 2
π
k
, где
k
Z
.
Ответ
:
t
= 2π
k
, где
k
Z
.
3 ученик
cos t = 0,
t
= 
+ π
k
, где
k
Z
.
Ответ:
t
= + π
k
,
k
Z
.
cos t = – 1,
t
= π + 2π
k
, где
k
Z
.
Ответ:
t
= π + 2π
k
, где
k
Z
.
4. Изучение нового материала , 13-15 мин.
cos t = .На доске ведет запись на основной доске рядом с примером cos t = , все остальные учащиеся слушают. Пример и единичная окружность записаны заранее.
Проговаривая алгоритм решения простейшего тригонометрического уравнения, ученик решает уравнение с помощью единичной окружности.
t = t 1 +2π k ,
t
=
t
2
+2π
k
, где
kZ
.
Т.к.
t
1=
–
t
2,
то
t
= ±
t
1
+2π
k
, где
kZ
.
Является ли эта запись ответом решения уравнения?
Эта запись не является ответом решения уравнения, т. к. не определены значения t 1 .
Учитель.
Что это за число t
1
, пока неизвестно, ясно только то, что t
1
. Столкнувшись с такой ситуацией, математики поняли, что надо придумать способ ее описания на математическом языке. Поэтому был введен на рассмотрение новый символ arc
с
os
а
, который читается: арккосинус а
.
Запишем тему сегодняшнего урока: «Арккосинус числа а . Решение уравнений cos t = a ».
(Слайды 3, 4)
Учитель. Сегодня на уроке мы изучим понятие арккосинус числа а, научимся его вычислять и применять при решении простейших тригонометрических уравнений. (Слайд 3)
Arcus в переводе с латинского значит дуга , сравните со словом арка . Символ arc сos а , введенный математиками, содержит знак (arc ) , с os а – напоминание об исходной функции. (Слайд 4)
Открываем учебник на стр.89 и читаем определение арккосинуса.
Ученики открывают учебник и читают по книге определение, выделяя главное.
Закрепление и отработка понятия арккосинус числа а и алгоритма его вычисления.
Фронтальная работа с классом.
Косинус какого числа равен а ?
Применяя изученное определение, найдите значение выражения:
arccos
(
);
arc
с
os
(
);
arc
с
os
(
).
(Слайд 5)
arccos
(
) =
;
arc с os ( ) = ;
а
rc
с
os
(
) =
Все значения а принадлежат отрезку от – 1 до 0. Какой четверти принадлежат значения арккосинуса а ?
Значения arcos а принадлежат отрезку от 0 до .
А как же вычислить значение arccos (– а) ? Обратимся к учебнику и найдем формулу, по которой вычисляется значение arcos (– а) (Читаем и выделяем формулу).
Вычислить: arccos
(–
);
arc
с
os
(–
);
а
rc
с
os
(–
).
(Слайд 6)
arccos
(–
)=
;
а
r
с
cos
(–
) =
;
а
r
с
cos
(–
) =
Все значения (– а) принадлежат отрезку от – 1 до 0. Какой четверти принадлежат значения arccos (–а) ?
Запишите справочный материал. (Слайд 6)
Значения arc с os (–а) принадлежат отрезку от до π .
Учащиеся записывают формулу в тетрадь.
Вычисляем по слайду на интерактивной доске.
Задание. Найти значение выражения:
а
) arccos () – arccos (–) +
+ arcos 1;
(
Слайд
7)
б
) 2arccos 0 + 3 arccos 1 – arcos (–)
(
Слайд
8)
5. Самостоятельная работа (с последующей самопроверкой). (Слайд 9)
2 человека работают у доски самостоятельно, остальные работают в тетрадях, затем проверяют правильность выполнения. Те, кто работал с дом заданием, у доски пишут на листочка, затем сдают их на проверку.
cos t = , которое решала…. Зная понятия арккосинуса, теперь мы можем записать ответ решения этого уравнения следующим образом.cos t = .
Урок к разделу: «Тригонометрические уравнения», 10 класс
Тема урока: «Уравнение cos х = а».
Тип занятия : формирование новых знаний, умений и навыков
Цели урока:
-образовательная
рассмотреть решения простейших тригонометрических уравнений типа cosx=a.
-воспитательная
воспитывать навыки культуры труда;
-развивающие
развивать чувство ответственности и навыки самостоятельного труда и самоконтроля;
развивать логическое мышление;
вырабатывать умение классифицировать и обобщать;
развивать умение задавать вопросы.
Оборудование: интерактивная доска c мультимедийным проектором и компьютером, таблицы с формулами, презентация.
Задачи урока:
1). Учащиеся повторяют основные понятия темы.
2). Учащиеся решают уравнения типа cos х = а.
Методические приемы: прием кластера («гроздья»), прием «верите ли вы?» (на стадии вызова), «продвинутая лекция» (стадия осмысления), комментированное решение уравнений, самостоятельная работа учащихся (стадия рефлексии).
Урок был дан с использованием элементов технологии критического мышления.
Ход урока :
Вызов
I. Урок начинается с вопроса к классу: «На доске записана тема нашего урока. На какие вопросы вы хотели бы получить сегодня ответы?»
В ходе обсуждения на доске появляется схема (кластер):
cos х = а.
П. Работа с таблицей «Верите ли Вы, что...?», («Верно ли, что …?»):
1). Уравнение cos х = а имеет бесконечно много корней;
2). cos х – абсцисса точки единичной окружности;
3). На отрезке [о;π] уравнение cos х = ½ имеет 1 корень;
4). arccos a - угол из промежутка [-π /2; π/2], косинус которого равен а (|а |≤1);
5). arccos (-а) = π - arccos а;
6). Уравнения cos х = 1; cos х = -1; cos х = 0 имеет одну серию корней?
В вопросы специально включены неверные формулировки.
Учащиеся работают в парах, заполняя графу (1) таблицы («+» - да; «‑» - нет). Затем без обсуждения на доске заполняется та же графа (1) таблицы «Верите ли Вы, что...?». Карточки с таблицей лежат на каждой парте.
Осмысление
III. «Продвинутая лекция».
Задание: учащиеся, сидящие на I варианте, следят за кластером (схемой), учащиеся, сидящие на II варианте, пишут краткий конспект лекции.
a) cos х - абсцисса точки единичной окружности, полученной поворотом точки Р 0 (1;0) на угол х вокруг начала координат.
Т. е., при а меньшем, чем -1 и большем, чем 1 , уравнение cos x = а не имеет корней. Решим уравнение cos х = 3/2. (Ответ: корней нет).
б). Решим уравнение cos x = 1/2.
π /3 + 2 π k , k є Z.
-π /3 + 2 π k , k є Z.
Ответ: ± π/3 + 2 π k , k є Z .
Уравнение cos х =1/2 имеет бесконечно много корней, но на отрезке это уравнение имеет 1 корень π /3, который называют arccos 1/2 .
Записывают: arccos 1/2 = π /3.
в) аналогично решим уравнения:
cos x = a , где |а|≤1:
arccos a
- arccos a
Ответ: x = ± arccos a + 2 π k, k є Z.
Напомним, что arccos (-a) = π - arccos a.
arccos (- а ) arccos (- а )
г). частные случаи:
| 1). cos x = 1
x = 2π k , k є Z . | 2). cos x = -1
x = π + 2π k , k є Z . | 3). cos x = 0
x = π/2 + π k , k є Z . |
IV. Работа в парах с кластером и таблицей «Верно ли, что...?». Четыре пары работают с кластером, остальные с таблицей (заполняется графа 2).
На работу дается 2 минуты, еще 5 минут ‑ на проверку, обсуждение и оформление на доске. При проверке таблицы (она вычерчена на доске) сопоставляются полученные знания с исходными и выделяются ярким цветом правильные ответы.
Рефлексия
V . Теперь, когда получены формулы корней тригонометрического уравнения cos х = а , учащиеся комментируют и решают на доске уравнения:
2). 3cos х/3 = 2
Самостоятельная работа учащихся:
1). 2cos 3x = -1,
2). 2cos (x + π / 3) = -1,
3). (2cos x + 1) (cos 3x -3) = 0,
4). сos 2x(2cos x + 2) = 0.
Результат выполнения самостоятельной работы проверяется.
Что я узнал нового;
Как изменились мои знания;
Что я буду с этим делать?
VI. Контрольный срез урока.
I в .: cos 2x=√2/2 II в .: cos (x/2)= √3/2.
VII. Домашнее задание
§ 33,
№№ 571-573.
ЛИТЕРАТУРА
1). Алгебра и начала анализа 10 - 11 класс: учебник для учащихся общеобразовательных учреждений (базовый уровень) Ш.А. Алимов, Ю.М. Колягин, М.В. Ткачева, Н.Е. Фёдорова, М.И. Шабунин. – М.: Просвещение, 2013.
2). Дидактические материалы по алгебре и началам анализа для 10 класса. М.И.Шабунин, М.В. Ткачёва, 2012.
3). Самостоятельные и контрольные работы по алгебре и началам анализа для 10 класса. А.П. Ершова, В.В. Голобородько – М.:ИЛЕКСА, 2011.
4). Задачи по алгебре и началам анализа для 10-11 классов. С.М.Саакян, А.М.Гольдман, Д.В. Денисов.– М.: Просвещение, 2011.
Интернет – ресурсоы:
Конспект урок 1 (Шелест С. В.)
Название предмета: Алгебра и начала математического анализа Класс 10 УМК: Алгебра и начала математического анализа А.Г. Мордкович, П.В. Семенов, 2015 год Уровень обучения (базовый) Тема урока: Понятие арккосинуса и решение уравнения cost = a Общее количество часов, отведенное на изучение темы: 2 Место урока в системе уроков по теме:1 Цель урока: ввести понятие арккосинуса, вывести формулу для нахождения корней уравнения cos t = а Задачи урока 1. Обучающие: а) формировать умение вычислять арккосинус б) научить применять формулу при решении простейших тригонометрических уравнений; 2. Развивающие: а) развивать умение кратко, логично, последовательно излагать мысли и суждения; б) развивать способность аргументировать свои утверждения; 3.Воспитательные: а) обучать навыкам планирования деятельности, работы в оптимальном темпе, б) воспитывать умение правильно оценивать свои возможности, результаты учебной деятельности, развивать коммуникативные навыки; Оборудование: раздаточный материал, модель единичной окружности. Ход урока 1. Организационный момент. 2. Актуализация знаний учащихся. Устный счет (задания на доске) 1. Вычислите. а) Вычислить значения: cos ; cos ; cos . б)Вычислить значения: cos ; cos; cos 2. Назовите несколько углов, косинус которых равен: а) 0; б) в) г) –1. 3. Проверка домашней работы (3-4мин) (3 учащихся заранее готовят на доске решения уравнений с помощью единичной окружности) 1 ученик cos t = t = +2πk , где kZ (объяснение ведется по единичной окружности) Ответ: t = +2πk , где kZ. 2 ученик cos t = 1,5, не имеет решения т.к. -1≤а≤1 Ответ: нет решений. cos t = 1, t = 2πk, где kZ. Ответ:t = 2πk, где kZ. 3 ученик cos t = 0, t = + πk, k; Ответ: t = + πk, k; cos t = -1, t = π + 2πk, k. Ответ: t = π + 2πk, k. 4.Изучение нового материала Постановка проблемной задачи. После того как учащиеся вспомнят принцип решения уравнений вида cos t = а, предложить им решить уравнение вида на доске ведет запись на основной доске рядом с примером cos t = 0,5 , все остальные учащиеся слушают (пример и единичная окружность записаны заранее) Проговаривая алгоритм решения простейшего тригонометрического уравнения, ученик решает уравнение с помощью единичной окружности. t = t1 +2πk, t = t2 +2πk, где k., т.к. t1= - t2, то t = ± t1 +2πk, где k., Эта запись не является ответом решения уравнения, т. к. не определены значения t1. Что это за число t1, пока неизвестно, ясно только то, что t1. Столкнувшись с такой ситуацией, математики поняли, что надо придумать способ ее описания на математическом языке. Поэтому был введен на рассмотрение новый символ arcсos а, который читается: арккосинус а. Запишем тему сегодняшнего урока: «Арккосинус числа а. Решение уравнений cos t = a» -Сегодня на уроке мы изучим понятие арккосинус числа а, научимся его вычислять и применять при решении простейших тригонометрических уравнений. Arcus в переводе с латинского значит дуга, сравните со словом арка. Символ arcсosа, введенный математиками, содержит знак (arc), сosа - напоминание об исходной функции Открываем учебник на стр.89 и читаем определение арккосинуса (ученики открывают учебник и читают по книге определение, выделяя главное) 5. Закрепление и отработка понятия арккосинус числа а и алгоритма его вычисления (фронтальная работа с классом) Учитель Ученик Значит, вычисляя арккосинус числа а, какой нужно себе задать вопрос? Косинус какого числа равен а? Применяя изученное определение, найдите значение выражения arccos ();arcсos() arcсos() arccos () = arcсos() = arcсos() = Все значения а принадлежат отрезку от -1 до 0. Какой четверти принадлежат значения арккосинуса а? Значения arccosа принадлежат отрезку от 0 до А как же вычислить значение arccos(–а)? Обратимся к учебнику и найдем формулу, по которой вычисляется значение arccos(–а) (читаем и выделяем формулу). Вычислить: arccos (-); arcсos(-); arcсos(-); arccos (-)= arсcos(-) = arсcos(-) = Все значения (-а) принадлежат отрезку от -1 до 0. Какой четверти принадлежат значения arccos(–а)? Запишите справочный материал (слайд 6) Значения arcсos(-а) принадлежат отрезку от до π Учащиеся записывают формулу в тетрадь. Закрепление и отработка понятия арккосинус числа а и алгоритма его вычисления (фронтальная работа с классом) Задание Найти значение выражения: а) arccos ()-arccos (-)++arcos1 б) 2arccos 0 + 3 arccos 1 –arcos (-) 5. Самостоятельная работа (с последующей самопроверкой) 2 человека работают у доски самостоятельно, остальные работают в тетрадях, затем проверяют правильность выполнения. Те, кто работал с дом заданием, у доски пишут на листочках, затем сдают их на проверку Учитель Ученик Вернемся к уравнению cos t =. которое решала…. Зная понятия арккосинуса, теперь мы можем записать ответ решения этого уравнения следующим образом. cos t =. t = ±arccos + 2πk, где kZ . Ответ: t = ±arccos + 2πk, где kZ Мы решили уравнение двумя способами: с помощью единичной окружности и с помощью формулы. Записывают в тетради решение за учителем Итак, запишем справочный материал и выделим его решением уравнения cos t = a, где а. t = ± arcсos а + 2πk, k. Ответ: t = ± arcсos а + 2πk, k. Записывают в тетради модель решения уравнения за учителем 6. Закрепление изученного материала (13мин) № 15.5 (б,г), 15.6 (а, б). (2 ученика работают индивидуально у доски) 1 уч.: а) cos t = ; б) cos t = -; 2 уч: а) cos t = ; б) cos t = . (обратить внимание на этот пример, выполняя оценку числа) Решите уравнение: №15.5(б,г) б) cos t = . г) cos t = ; 15.6 (а,б) а) cos t =1; (обратить внимание на ответ и выделить частные случаи) б) cos t = - 7. Подведение итогов урока (рефлексия).(3-4мин) (устная фронтальная работа с классом) Учитель Ученик Какие новые понятия вы изучили на уроке? Мы узнали новое понятие арккосинус а. Какой новый способ решения простейших тригонометрических уравнений мы рассмотрели на уроке? С помощью формул Еще раз внимательно просмотрите записанный нами справочный материал. Закройте тетради, возьмите тест на партах, каждый свой вариант и заполните пропуски. На эту работу у вас есть 3 минуты (взаимопроверка) (после 3- минут работы учащиеся меняются листочками и проверяют правильность, ответы проецируются на интерактивную доску) (черным шрифтом выделены пропущенные места теста) Выполняют тест Сейчас вы определили пробелы в своих знаниях, и прошу дома на это обратить внимание. 8.Домашнее задание (дифференцированное)(1мин) Мы изучили учебный материал обязательного уровня и решали задания уровня В тестирования в формате ЕГЭ, в то же время вам предложено решить тригонометрические уравнения, приводимые к простейшим §16, №15.3, 15.4,15.5(в,г), 15.6(в,г), *15.12
Скачать: Алгебра 10кл - Конспект урок 1 (Шелест С. В.).docxурок 2 (Шелест С. В.)
Название предмета: Алгебра и начала математического анализа Класс 10 УМК: Алгебра и начала математического анализа А.Г. Мордкович, П.В. Семенов, 2015 год Уровень обучения (базовый) Тема урока: Решение уравнения cost = a Общее количество часов, отведенное на изучение темы: 2 Место урока в системе уроков по теме:2 Цель урока: закрепить умение вычислять арккосинус; формировать умение решать уравнения вида cos t = а. Задачи урока 1. Обучающие: а)научить применять формулу при решении простейших тригонометрических уравнений; рассмотреть частные случаи таких уравнений. 2. Развивающие: а) развивать умение кратко, логично, последовательно излагать мысли и суждения; б) развивать способность аргументировать свои утверждения; 3.Воспитательные: а) обучать навыкам планирования деятельности, работы в оптимальном темпе, б) воспитывать умение правильно оценивать свои возможности, результаты учебной деятельности, развивать коммуникативные навыки; Оборудование: модель единичной окружности. Ход урока 1. Организационный момент. 2. Актуализация знаний учащихся. Устная работа. 1. Имеет ли смысл выражение. 2. Вычислите. 3. Объяснение нового материала. Практически весь новый материал был разобран на предыдущем уроке. На этом уроке необходимо сделать акцент на решении уравнений вида cos t = а, рассмотреть частные случаи таких уравнений. Сначала нужно актуализировать знания учащихся об арккосинусе и решении уравнений cos t = а. Учащиеся должны вспомнить выведенную на предыдущем уроке формулу для решения данных уравнений, которая выносится на доску: Затем следует рассмотреть вопрос о частных случаях решения уравнения cos t = а. На доске и в тетрадях сделать соответствующие записи: 4. Формирование умений и навыков. 1. № 15.5 (а; в), № 15.6 (б; г). 2. № 15.7. Решение: Решив несколько уравнений вида cos t = а, где учащиеся зачастую перестают следить за значением числа а. Поэтому полезно периодически предлагать им решать такие уравнения, в которых а) б) в) cos t = –1,1; нет решений, так как –1,1 < –1. г) cos t = 2,04. нет решений, так как 2,04 >1. 3. № 15.12 (а). Решение: cos t = 1 Ответ: 4. № 15.4 (а; б). Решение: а) если k = 0, то (входит) (не входит) если k = 1, то (не входит) (входит) Ответ: б) если k = 0, то (не входит) (не входит) если k = 1, то (входит) (не входит) если k = 2, то (не входит) (входит) Ответ: 5. № 15.15 (г). Решение: если k = 0, то (входит) (входит) если k = 1, то (не входит) (не входит) если k = –1, то (входит) (не входит) Ответ: 6. № 15.17. Можно предложить учащимся выполнить дополнительно задания повышенного уровня сложности. 7.* № 15.18 (а; б). Решение: Эти неравенства решаются с помощью числовой окружности. Основная трудность состоит в том, чтобы правильно определить углы, которым соответствуют числа и 8.* № 15.19 (а). Решение: Сделаем замену cos t = х и решим неравенство: Получим: С учётом области значений функции cos t получим неравенство: Ответ: 5. Итоги урока. Вопросы учащимся: – Что называется арккосинусом числа а? – Как вычислить arccos (–а)? – Назовите формулу корней уравнения cos t = а. – Сформулируйте алгоритм решения простейших тригонометрических неравенств. Домашнее задание: № 15.5 (б; г), № 15.6 (а; в), № 15.12 (б), № 15.15 (б; в). Дополнительно: № 15.18 (в; г), № 15.19 (г).
Скачать: Алгебра 10кл - урок 2 (Шелест С. В.).docxурок 1 (Бакеева И. Р.)
Название предмета: Алгебра и начала анализа Класс: 10 УМК: Мордкович А.Г. Алгебра и начала математического анализа. 10-11 классы. В 2ч. Учебник и задачник для учащихся общеобразовательных учреждений (базовый уровень). -М.:Мнемозина, 2011 г. Уровень обучения: базовый. Тема урока: Понятие арккосинуса. Общее количество часов, отведенное на изучение темы: 10 часов. Место урока в системе уроков по теме: 1 урок. Цели урока: ввести понятие арккосинуса, формировать умение вычислять арккосинус; вывести формулу для нахождения корней уравнения cos t = а. 1) Образовательные задачи урока: создать организационные и содержательные условия для формирования умений учащихся находить арккосинус числа, арккосинус отрицательного числа, сравнивать значения арккосинуса 2) Развивающие задачи урока: способствовать формированию умений применять полученные знания в новой ситуации, развивать логическое мышление, математическую речь. создать условия для развития познавательной активности учащихся, познавательного интереса к предмету; развивать интеллектуальную, рефлексивную культуру; развивать навыки самостоятельной деятельности учащихся; развивать навыки самоконтроля; 3) Воспитательные задачи урока: развивать мобильность, коммуникативные навыки. воспитывать культуру умственного труда; воспитывать умение анализировать результаты собственной деятельности; обеспечить гуманистический характер обучения. Планируемые результаты: 1. Уметь находить арккосинус числа, арккосинус отрицательного числа. 2. Уметь сравнивать значения арккосинуса. Техническое обеспечение урока: компьютер, проектор, экран. Дополнительное методическое и дидактическое обеспечение урока: презентация в программе PowerPoint План урока: I. Организационный момент. Самоопределение к деятельности, постановка цели и задач урока. II. Устная работа. 1. Вычислите. 2. Назовите несколько углов, косинус которых равен: а) 0; б) в) г) –1. III. Объяснение нового материала. Объяснение проводить согласно пункту учебника в несколько этапов. 1. Актуализация знаний. Следует повторить способ решения уравнений вида cos t = а с помощью числовой окружности. Рассмотреть пример из учебника, в котором показано решение уравнения cos t = . 2. Постановка проблемной задачи. После того как учащиеся вспомнят принцип решения уравнений вида cos t = а, предложить им решить уравнение вида cos t = . Затем согласно пункту учебника ввести понятие арккосинуса. При определении арккосинуса внимание учащихся следует обратить на то, что угол берётся из промежутка. Пояснить: если этот факт не учитывать, то арккосинус будет принимать бесконечно много значений. 3. Решение уравнения cos t = а. Вывести формулу для решения уравнения cos t = а, вынести её на доску. 4. Нахождение arccos(–а). Очень часто учащиеся допускают ошибки при вычислении арккосинуса отрицательного числа. Эти ошибки бывают двух видов. Например, вычисляя arcos , учащиеся получают (путают в дальнейшем с арксинусом) или (вспоминают о чётности функции у = cos х). Избежать этих ошибок поможет обращение к определению арккосинуса и к числовой окружности. Согласно определению арккосинус находится в промежутке поэтому не может быть отрицательным. На числовой окружности видно, что arcos После нахождения значений нескольких арккосинусов отрицательных чисел на доску выносится запись: IV. Формирование умений и навыков. На этом уроке основное внимание нужно уделить нахождению арккосинусов. Решение уравнений cos t = а можно отложить до следующего урока. 1. № 15.1, № 15.2, № 15.3 (б, г). 2. Вычислите. 3. № 15.8 (а). Решение: 4. № 15.10. Очень важно, чтобы учащиеся осознали, какова область допустимых значений выражения arccos а. Только после этого можно перейти к выполнению следующего номера. 5. № 15.9 (а, г). Решение: а) arccos х Очевидно, что б) arccos (3 – 2х) 1 ≤ х ≤ 2 Ответ: . 6. № 15.11. Решение: tg (arccos 0,1 + arccos (- 0,1) + х) = tg x. Используя формулу arccos a + arccos (- a) = π, преобразуем левую часть равенства: tg (arccos 0,1 + arccos (- 0,1) + х) = tg(π + x) = tg x. Доказано. В классе с высоким уровнем подготовки можно дополнительно предложить несколько заданий повышенного уровня сложности. 7.* № 15.16. Решение: а) y = arccos x + arccos (- x). Учащиеся довольно часто просто преобразовывают данное выражение, забывая об области определения и области значений функции. Имеем: arccos x + arccos (- x) = π, причем D (y): и E (y): . Тогда график будет выглядеть следующим образом: б) y = cos(arccos x). Очевидно, что cos(arccos x) = x, однако опять нельзя забывать об области определения и области значений исходной функции. 8.* № 15.21 (а), № 15.22 (а). Решение: № 15.21 (а). Задания подобного вида зачастую вызывают затруднения у учащихся. Для их выполнения необходимо осознанное понимание определения арккосинуса. Чтобы помочь учащимся отыскать способ решения этого задания, можно рассуждать следующим образом: – arccos – это некоторый угол, и нам нужно найти синус этого угла; – пусть arccos= α, согласно определению, это угол из промежутка такой, что cosα = – поскольку ˃ 0, то α лежит в I четверти; – нам известно, что cos α = и 0 ˂ α ˂ , а нужно найти sin α; – задача свелась к нахождению синуса некоторого угла, если известен косинус этого угла. Решение этого задания для наглядности можно оформить следующим образом: – ? Имеем: Значит, sin α = . Ответ: . № 15.22 (а). Рассуждаем так же, как в предыдущем задании. – ? Значит, tg α = - . Ответ: – . V. Итоги урока. Вопросы учащимся: – Как с помощью числовой окружности решить уравнение cos t = а? – Что называется арккосинусом числа а? – Почему в определении арккосинуса фигурирует именно промежуток? – Как вычислить arccos (–а)? – Какова область допустимых значений выражения arccos а? VI. Рефлексия. «10 баллов» Оцените по 10-бальной шкале работу на занятии с позиции: „Я" 0________10 „Мы" 0________10 „Дело" 0________10 Домашнее задание: № 15.3 (а, в), № 15.4, № 15.8 (б), № 15.9 (б, в). Дополнительно: № 15.21 (б), № 15.22 (б).
Скачать: Алгебра 10кл - урок 1 (Бакеева И. Р.).docxурок 2 (Бакеева И. Р.)
Название предмета: Алгебра и начала анализа Класс: 10 УМК: Мордкович А.Г. Алгебра и начала математического анализа. 10-11 классы. В 2ч. Учебник и задачник для учащихся общеобразовательных учреждений (базовый уровень). -М.:Мнемозина, 2011 г. Уровень обучения: базовый. Тема урока: Решение уравнения cos t = а. Общее количество часов, отведенное на изучение темы: 10 часов. Место урока в системе уроков
Министерство образования РФ: http://www.ed.gov.ru/ ; http://www.edu.ru
Тестирование online: 5 - 11 классы: http://www.kokch.kts.ru/cdo
Сеть творческих учителей: http://it-n.ru/communities.aspx?cat_no=4510&tmpl=com ,
Сайт Александра Ларина (подготовка к ЕГЭ): http://alexlarin.narod.ru/ege.html
Новые технологии в образовании: http://edu.secna.ru/main
Путеводитель «В мире науки» для школьников: http://www.uic.ssu.samara.ru
Мегаэнциклопедия Кирилла и Мефодия: http://mega.km.ru
сайты «Энциклопедий»: http://www.rubricon.ru/; http://www.encyclopedia.ru
сайт для самообразования и он-лайн тестирования: http://uztest.ru/
Разработчик материала:
Матвеева Мария Викторовна
учитель математики
ГБОУ ШИ «Олимпийский резерв»
Программированный урок для 10 класса по теме:
Понятие арккосинуса. Уравнение вида с os х = а .
Как и при решении обычных уравнений, решение тригонометрических уравнений сводится к умению решать простейшие уравнения.
Определение: Уравнение называется тригонометрическим, если неизвестное стоит под знаком тригонометрических функций.
Простейшими тригонометрическими уравнениями являются: с os х = а, sinх = а, tgх = а.
Каждое из них имеет свою формулу для решения. Единственное, что нужно четко запомнить - это, то, что при их решении получается бесконечно много корней .
Но можно и узнать конкретные решения.
Для того чтобы научится решать первое простейшее тригонометрическое уравнение, нужно познакомиться с таким понятием, как арккосинус числа.
Следует отметить, что число , для которого рассматривается арккосинус, принадлежит промежутку [-1; 1].
Определение: Арккосинусом числа а [-1; 1] (обозначается arccos a ) называется такое число α , косинус которого равен а. То есть cos ( arccos a ) = а.
Например, arccos (-1) = π; так как cos π= -1
arccos = , так как cos =
Таким образом, арккосинус есть обратная функция к косинусу .
Выпиши в теоретическую тетрадь: определение и примеры.
На самом деле, найти значение arccos можно легко воспользовавшись до боли нам знакомой таблицей значений тригонометрических функций.
При нахождении arccos необходимо задавать себе такой вопрос, при каком значении cos равен ? И смотреть в таблицу. Ответ: «при 45° или в радианной мере ».
Следует запомнить, что значение арккосинуса принято записывать только в радианной мере . Поэтому следует запомнить соответствие градусной и радианной меры углов.
Если число, от которого необходимо найти арккосинус отрицательное, то чтобы его найти необходимо, воспользоваться формулой:
arccos (-а) = π - arccos а.
Например,
arccos
(
= π
=
.
arccos
(
= π
=
.
Выпиши в теоретическую тетрадь: формулу и примеры.
Реши задания по учебнику с. 168 № 568 – 570.
Решение тригонометрического уравнения вида cos х = а сводится к использованию формулы:
х = ±
Эту формулу можно проиллюстрировать на рисунке 68 стр. 165 по учебнику. Откройте учебник.
На чертеже видно, что на оси косинусов отмечена точка . Прямая проведенная вертикально через эту точку, показывает, что косинус для значений I и VI четвертей совпадает.
Но как мы можем получить эти углы, когда будем поворачивать точку? Да именно в I четверти на «+» угол, а в VI четверти на «-». Отсюда и получается знак « ±». То есть со s и cos совпадают.
Выпиши в теоретическую тетрадь: формулу и рисунок из учебника с пояснениями.
Разберем решение тригонометрического уравнения на примере: со s х = х = ±
(посмотреть значение
по таблице)
х =
±
Ответ: х =
±
Выпиши в теоретическую тетрадь: решение уравнения с пояснениями.
Так как корней получается бесконечное количество, то в заданиях иногда просят найти конкретные значения корней, например принадлежащие промежутку , то есть I четверти или промежутку .
Эти задания очень часто встречаются в ЕГЭ. Их можно найти путем подстановки вместо n конкретных чисел (для помощи тебе выделено цветом ).
Например, рассмотрим решение нашего уравнения х = ±
1.
Пусть
n
=0
. Тогда х =
±
±
, то есть х
1
=
+
и х
2
=
.
Из этого видно, что получается 45° и - 45°. Из этих двух чисел, только одно принадлежит промежутку , то есть
I
четверти. Только число
+
.
2.
Пусть
n
=1
. Тогда х =
±
±
,
то есть х
1
=
+
и х
2
=
,
х
1
=
=
и х
2
=
=
Из этого видно, что получается х 1 = 405° и х 2 = 315°. Значит, ни одно из чисел не принадлежит I четверти, то есть промежутку . Поэтому в ответ их записать нельзя.
Выпиши в теоретическую тетрадь: способ нахождения конкретных корней (принадлежащих конкретному промежутку) тригонометрического уравнения. Например 1 , решите уравнение со s х = и найдите корни, принадлежащие промежутку [ ]. Первое, что необходимо сделать это просто решить уравнение по формуле и на время забыть про промежуток. со s х = х = ±
(посмотреть значение
по таблице)
х =
±
Второе
, нужно определиться с четвертью, которой должны принадлежать корни.
это промежуток от 90° до 180°. Значит, это
II
вторая четверть.
Третье,
нужно подставить конкретные значения
n
(для помощи тебе выделено цветом ). - Пусть
n
=0.
Например 2 , решите уравнение со s х = . со s х = х = ±
(посмотреть значение
по таблице, но в таблице нет таких значений, поэтому вычислить значение
не предоставляется возможным).
Ответ:
х = ±
Выпиши в теоретическую тетрадь: пример 2 с пояснениями.
В случае если косинус равен отрицательному числу, необходимо использовать другую формулу при решении уравнения:
х = ± ± Реши задания по учебнику: с. 169 №571, 572. Не всегда уравнения бывают такими простыми, есть уравнения разной степени сложности. Например, 3 . Решите уравнение 2со s 3х = . со s 3х = ( необходимо разделить обе части уравнения на число, которое стоит перед косинусом) 3х = ± знак деления можно записать в виде дробной черты s х = ,5 со s х = ,5 Решить такое уравнение не представляется возможным, так как значение косинуса находится в промежутке [-1; 1]. Ответ: нет решений. Выпиши в теоретическую тетрадь: примеры с пояснениями. Реши задания по учебнику: с. 169 №573.