Логарифмы: примеры и решения. Основные свойства логарифмов Тест по теории свойства логарифмов

основными свойствами .

logax + logay = loga (x · y);
logax − logay = loga (x: y).

одинаковые основания

Log6 4 + log6 9.

Теперь немного усложним задачу.

Примеры решения логарифмов

Что, если в основании или аргументе логарифма стоит степень? Тогда показатель этой степени можно вынести за знак логарифма по следующим правилам:

Разумеется, все эти правила имеют смысл при соблюдении ОДЗ логарифма: a > 0, a ≠ 1, x >

Задача. Найдите значение выражения:

Переход к новому основанию

Пусть дан логарифм logax. Тогда для любого числа c такого, что c > 0 и c ≠ 1, верно равенство:

Задача. Найдите значение выражения:

Смотрите также:

Основные свойства логарифма

1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.

Экспонента равна 2,718281828…. Чтобы запомнить экспоненту можете изучить правило: экспонента равна 2,7 и два раза год рождения Льва Николаевича Толстого.

Основные свойства логарифмов

Зная это правило будете знать и точное значение экспоненты, и дату рождения Льва Толстого.

Примеры на логарифмы

Прологарифмировать выражения

Пример 1.
а). х=10ас^2 (а>0,с>0).

По свойствам 3,5 вычисляем

4. где .

Пример 2. Найти х, если

Пример 3. Пусть задано значение логарифмов

Вычислить log(x), если

Основные свойства логарифмов

Логарифмы, как и любые числа, можно складывать, вычитать и всячески преобразовывать. Но поскольку логарифмы — это не совсем обычные числа, здесь есть свои правила, которые называются основными свойствами .

Эти правила обязательно надо знать — без них не решается ни одна серьезная логарифмическая задача. К тому же, их совсем немного — все можно выучить за один день. Итак, приступим.

Сложение и вычитание логарифмов

Рассмотрим два логарифма с одинаковыми основаниями: logax и logay. Тогда их можно складывать и вычитать, причем:

logax + logay = loga (x · y);
logax − logay = loga (x: y).

Итак, сумма логарифмов равна логарифму произведения, а разность — логарифму частного. Обратите внимание: ключевой момент здесь — одинаковые основания . Если основания разные, эти правила не работают!

Эти формулы помогут вычислить логарифмическое выражение даже тогда, когда отдельные его части не считаются (см. урок «Что такое логарифм»). Взгляните на примеры — и убедитесь:

Поскольку основания у логарифмов одинаковые, используем формулу суммы:
log6 4 + log6 9 = log6 (4 · 9) = log6 36 = 2.

Задача. Найдите значение выражения: log2 48 − log2 3.

Основания одинаковые, используем формулу разности:
log2 48 − log2 3 = log2 (48: 3) = log2 16 = 4.

Задача. Найдите значение выражения: log3 135 − log3 5.

Снова основания одинаковые, поэтому имеем:
log3 135 − log3 5 = log3 (135: 5) = log3 27 = 3.

Как видите, исходные выражения составлены из «плохих» логарифмов, которые отдельно не считаются. Но после преобразований получаются вполне нормальные числа. На этом факте построены многие контрольные работы. Да что контрольные — подобные выражения на полном серьезе (иногда — практически без изменений) предлагаются на ЕГЭ.

Вынесение показателя степени из логарифма

Несложно заметить, что последнее правило следует их первых двух. Но лучше его все-таки помнить — в некоторых случаях это значительно сократит объем вычислений.

Разумеется, все эти правила имеют смысл при соблюдении ОДЗ логарифма: a > 0, a ≠ 1, x > 0. И еще: учитесь применять все формулы не только слева направо, но и наоборот, т.е. можно вносить числа, стоящие перед знаком логарифма, в сам логарифм. Именно это чаще всего и требуется.

Задача. Найдите значение выражения: log7 496.

Избавимся от степени в аргументе по первой формуле:
log7 496 = 6 · log7 49 = 6 · 2 = 12

Задача. Найдите значение выражения:

Заметим, что в знаменателе стоит логарифм, основание и аргумент которого являются точными степенями: 16 = 24; 49 = 72. Имеем:

Думаю, к последнему примеру требуются пояснения. Куда исчезли логарифмы? До самого последнего момента мы работаем только со знаменателем.

Формулы логарифмов. Логарифмы примеры решения.

Представили основание и аргумент стоящего там логарифма в виде степеней и вынесли показатели — получили «трехэтажную» дробь.

Теперь посмотрим на основную дробь. В числителе и знаменателе стоит одно и то же число: log2 7. Поскольку log2 7 ≠ 0, можем сократить дробь — в знаменателе останется 2/4. По правилам арифметики, четверку можно перенести в числитель, что и было сделано. В результате получился ответ: 2.

Переход к новому основанию

Говоря о правилах сложения и вычитания логарифмов, я специально подчеркивал, что они работают только при одинаковых основаниях. А что, если основания разные? Что, если они не являются точными степенями одного и того же числа?

На помощь приходят формулы перехода к новому основанию. Сформулируем их в виде теоремы:

Пусть дан логарифм logax. Тогда для любого числа c такого, что c > 0 и c ≠ 1, верно равенство:

В частности, если положить c = x, получим:

Из второй формулы следует, что можно менять местами основание и аргумент логарифма, но при этом все выражение «переворачивается», т.е. логарифм оказывается в знаменателе.

Эти формулы редко встречается в обычных числовых выражениях. Оценить, насколько они удобны, можно только при решении логарифмических уравнений и неравенств.

Впрочем, существуют задачи, которые вообще не решаются иначе как переходом к новому основанию. Рассмотрим парочку таких:

Задача. Найдите значение выражения: log5 16 · log2 25.

Заметим, что в аргументах обоих логарифмов стоят точные степени. Вынесем показатели: log5 16 = log5 24 = 4log5 2; log2 25 = log2 52 = 2log2 5;

А теперь «перевернем» второй логарифм:

Поскольку от перестановки множителей произведение не меняется, мы спокойно перемножили четверку и двойку, а затем разобрались с логарифмами.

Задача. Найдите значение выражения: log9 100 · lg 3.

Основание и аргумент первого логарифма — точные степени. Запишем это и избавимся от показателей:

Теперь избавимся от десятичного логарифма, перейдя к новому основанию:

Основное логарифмическое тождество

Часто в процессе решения требуется представить число как логарифм по заданному основанию. В этом случае нам помогут формулы:

В первом случае число n становится показателем степени, стоящей в аргументе. Число n может быть абсолютно любым, ведь это просто значение логарифма.

Вторая формула — это фактически перефразированное определение. Она так и называется: .

В самом деле, что будет, если число b возвести в такую степень, что число b в этой степени дает число a? Правильно: получится это самое число a. Внимательно прочитайте этот абзац еще раз — многие на нем «зависают».

Подобно формулам перехода к новому основанию, основное логарифмическое тождество иногда бывает единственно возможным решением.

Задача. Найдите значение выражения:

Заметим, что log25 64 = log5 8 — просто вынесли квадрат из основания и аргумента логарифма. Учитывая правила умножения степеней с одинаковым основанием, получаем:

Если кто-то не в курсе, это была настоящая задача из ЕГЭ 🙂

Логарифмическая единица и логарифмический ноль

В заключение приведу два тождества, которые сложно назвать свойствами — скорее, это следствия из определения логарифма. Они постоянно встречаются в задачах и, что удивительно, создают проблемы даже для «продвинутых» учеников.

logaa = 1 — это. Запомните раз и навсегда: логарифм по любому основанию a от самого этого основания равен единице.
loga 1 = 0 — это. Основание a может быть каким угодно, но если в аргументе стоит единица — логарифм равен нулю! Потому что a0 = 1 — это прямое следствие из определения.

Вот и все свойства. Обязательно потренируйтесь применять их на практике! Скачайте шпаргалку в начале урока, распечатайте ее — и решайте задачи.

Смотрите также:

Логарифмом числа b по основанию a обозначают выражение . Вычислить логарифм значит найти такой степень x (),при котором выполняется равенство

Основные свойства логарифма

Приведенные свойства необходимо знать, поскольку, на их основе решаются практически все задачи и примеры связаны с логарифмами. Остальные экзотических свойств можно вывести путем математических манипуляций с данными формулами

1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.

При вычислениях формулы суммы и разности логарифмов (3,4) встречаются довольно часто. Остальные несколько сложные, но в ряде задач являются незаменимыми для упрощения сложных выражений и вычисления их значений.

Распространены случаи логарифмов

Одними из распространенных логарифмов такие в которых основание ровное десять, экспоненте или двойке.
Логарифм по основанию десять принято называть десятичным логарифмом и упрощенно обозначать lg(x).

Из записи видно, что основы в записи не пишут. Для примера

Натуральный логарифм – это логарифм у которого за основу экспонента (обозначают ln(x)).

Экспонента равна 2,718281828…. Чтобы запомнить экспоненту можете изучить правило: экспонента равна 2,7 и два раза год рождения Льва Николаевича Толстого. Зная это правило будете знать и точное значение экспоненты, и дату рождения Льва Толстого.

И еще один важный логарифм по основанию два обозначают

Производная от логарифм функции равна единице разделенной на переменную

Интеграл или первообразная логарифма определяется зависимостью

Приведенного материала Вам достаточно, чтобы решать широкий класс задач связанных с логарифмами и логарифмирования. Для усвоения материала приведу лишь несколько распространенных примеров из школьной программы и ВУЗов.

Примеры на логарифмы

Прологарифмировать выражения

Пример 1.
а). х=10ас^2 (а>0,с>0).

По свойствам 3,5 вычисляем

2.
По свойству разницы логарифмов имеем

3.
Используя свойства 3,5 находим

4. где .

На вид сложное выражение с использованием ряда правил упрощается к виду

Нахождение значений логарифмов

Пример 2. Найти х, если

Решение. Для вычисления применим до последнего слагаемого 5 и 13 свойства

Подставляем в запись и скорбим

Поскольку основания равные, то приравниваем выражения

Логарифмы. Начальный уровень.

Пусть задано значение логарифмов

Вычислить log(x), если

Решение: Прологарифмируем переменную, чтобы расписать логарифм через сумму слагаемых

На этом знакомство с логарифмами и их свойствами только начинается. Упражняйтесь в вычислениях, обогащайте практические навыки — полученные знания Вам скоро понадобятся для решения логарифмических уравнений. Изучив основные методы решения таких уравнений мы расширим Ваши знания для другой не менее важной теме — логарифмические неравенства …

Основные свойства логарифмов

Сложение и вычитание логарифмов

Рассмотрим два логарифма с одинаковыми основаниями: logax и logay. Тогда их можно складывать и вычитать, причем:

logax + logay = loga (x · y);
logax − logay = loga (x: y).

Задача. Найдите значение выражения: log6 4 + log6 9.

Поскольку основания у логарифмов одинаковые, используем формулу суммы:
log6 4 + log6 9 = log6 (4 · 9) = log6 36 = 2.

Задача. Найдите значение выражения: log2 48 − log2 3.

Основания одинаковые, используем формулу разности:
log2 48 − log2 3 = log2 (48: 3) = log2 16 = 4.

Задача. Найдите значение выражения: log3 135 − log3 5.

Снова основания одинаковые, поэтому имеем:
log3 135 − log3 5 = log3 (135: 5) = log3 27 = 3.

Вынесение показателя степени из логарифма

Теперь немного усложним задачу. Что, если в основании или аргументе логарифма стоит степень? Тогда показатель этой степени можно вынести за знак логарифма по следующим правилам:

Как решать логарифмы

Именно это чаще всего и требуется.

Задача. Найдите значение выражения: log7 496.

Избавимся от степени в аргументе по первой формуле:
log7 496 = 6 · log7 49 = 6 · 2 = 12

Задача. Найдите значение выражения:

Думаю, к последнему примеру требуются пояснения. Куда исчезли логарифмы? До самого последнего момента мы работаем только со знаменателем. Представили основание и аргумент стоящего там логарифма в виде степеней и вынесли показатели — получили «трехэтажную» дробь.

Переход к новому основанию

На помощь приходят формулы перехода к новому основанию. Сформулируем их в виде теоремы:

Пусть дан логарифм logax. Тогда для любого числа c такого, что c > 0 и c ≠ 1, верно равенство:

В частности, если положить c = x, получим:

Задача. Найдите значение выражения: log5 16 · log2 25.

А теперь «перевернем» второй логарифм:

Задача. Найдите значение выражения: log9 100 · lg 3.

Основание и аргумент первого логарифма — точные степени. Запишем это и избавимся от показателей:

Теперь избавимся от десятичного логарифма, перейдя к новому основанию:

Основное логарифмическое тождество

Вторая формула — это фактически перефразированное определение. Она так и называется: .

Задача. Найдите значение выражения:

Если кто-то не в курсе, это была настоящая задача из ЕГЭ 🙂

Логарифмическая единица и логарифмический ноль

logaa = 1 — это. Запомните раз и навсегда: логарифм по любому основанию a от самого этого основания равен единице.
loga 1 = 0 — это. Основание a может быть каким угодно, но если в аргументе стоит единица — логарифм равен нулю! Потому что a0 = 1 — это прямое следствие из определения.

Соблюдение Вашей конфиденциальности важно для нас. По этой причине, мы разработали Политику Конфиденциальности, которая описывает, как мы используем и храним Вашу информацию. Пожалуйста, ознакомьтесь с нашими правилами соблюдения конфиденциальности и сообщите нам, если у вас возникнут какие-либо вопросы.

Сбор и использование персональной информации

Под персональной информацией понимаются данные, которые могут быть использованы для идентификации определенного лица либо связи с ним.

От вас может быть запрошено предоставление вашей персональной информации в любой момент, когда вы связываетесь с нами.

Ниже приведены некоторые примеры типов персональной информации, которую мы можем собирать, и как мы можем использовать такую информацию.

Какую персональную информацию мы собираем:

Когда вы оставляете заявку на сайте, мы можем собирать различную информацию, включая ваши имя, номер телефона, адрес электронной почты и т.д.

Как мы используем вашу персональную информацию:

Собираемая нами персональная информация позволяет нам связываться с вами и сообщать об уникальных предложениях, акциях и других мероприятиях и ближайших событиях.
Время от времени, мы можем использовать вашу персональную информацию для отправки важных уведомлений и сообщений.
Мы также можем использовать персональную информацию для внутренних целей, таких как проведения аудита, анализа данных и различных исследований в целях улучшения услуг предоставляемых нами и предоставления Вам рекомендаций относительно наших услуг.
Если вы принимаете участие в розыгрыше призов, конкурсе или сходном стимулирующем мероприятии, мы можем использовать предоставляемую вами информацию для управления такими программами.

Раскрытие информации третьим лицам

Мы не раскрываем полученную от Вас информацию третьим лицам.

Исключения:

В случае если необходимо - в соответствии с законом, судебным порядком, в судебном разбирательстве, и/или на основании публичных запросов или запросов от государственных органов на территории РФ - раскрыть вашу персональную информацию. Мы также можем раскрывать информацию о вас если мы определим, что такое раскрытие необходимо или уместно в целях безопасности, поддержания правопорядка, или иных общественно важных случаях.
В случае реорганизации, слияния или продажи мы можем передать собираемую нами персональную информацию соответствующему третьему лицу – правопреемнику.

Защита персональной информации

Мы предпринимаем меры предосторожности - включая административные, технические и физические - для защиты вашей персональной информации от утраты, кражи, и недобросовестного использования, а также от несанкционированного доступа, раскрытия, изменения и уничтожения.

Соблюдение вашей конфиденциальности на уровне компании

Для того чтобы убедиться, что ваша персональная информация находится в безопасности, мы доводим нормы соблюдения конфиденциальности и безопасности до наших сотрудников, и строго следим за исполнением мер соблюдения конфиденциальности.

В соотношении

может быть поставлена задача отыскания любого из трех чисел по двум другим, заданным. Если даны а и то N находят действием возведения в степень. Если даны N и то а находят извлечением корня степени х (или возведением в степень ). Теперь рассмотрим случай, когда по заданным а и N требуется найти х.

Пусть число N положительно: число а положительно и не равно единице: .

Определение. Логарифмом числа N по основанию а называется показатель степени, в которую нужно возвести а, чтобы получить число N; логарифм обозначается через

Таким образом, в равенстве (26.1) показатель степени находят как логарифм N по основанию а. Записи

имеют одинаковый смысл. Равенство (26.1) иногда называют основным тождеством теории логарифмов; в действительности оно выражает определение понятия логарифма. По данному определению основание логарифма а всегда положительно и отлично от единицы; логарифмируемое число N положительно. Отрицательные числа и нуль логарифмов не имеют. Можно доказать, что всякое число при данном основании имеет вполне определенный логарифм. Поэтому равенство влечет за собой . Заметим, что здесь существенно условие в противном случае вывод был бы не обоснован, так как равенство верно при любых значениях х и у.

Пример 1. Найти

Решение. Для получения числа следует возвести основание 2 в степень Поэтому.

Можно проводить записи при решении таких примеров в следующей форме:

Пример 2. Найти .

Решение. Имеем

В примерах 1 и 2 мы легко находили искомый логарифм, представляя логарифмируемое число как степень основания с рациональным показателем. В общем случае, например для и т. д., этого сделать не удастся, так как логарифм имеет иррациональное значение. Обратим внимание на один связанный с этим утверждением вопрос. В п. 12 мы дали понятие о возможности определения любой действительной степени данного положительного числа. Это было необходимо для введения логарифмов, которые, вообще говоря, могут быть иррациональными числами.

Рассмотрим некоторые свойства логарифмов.

Свойство 1. Если число и основание равны, то логарифм равен единице, и, обратно, если логарифм равен единице, то число и основание равны.

Доказательство. Пусть По определению логарифма имеем а откуда

Обратно, пусть Тогда по определению

Свойство 2. Логарифм единицы по любому основанию равен нулю.

Доказательство. По определению логарифма (нулевая степень любого положительного основания равна единице, см. (10.1)). Отсюда

что и требовалось доказать.

Верно и обратное утверждение: если , то N = 1. Действительно, имеем .

Прежде чем сформулировать следующее свойство логарифмов, условимся говорить, что два числа а и b лежат по одну сторону от третьего числа с, если они оба либо больше с, либо меньше с. Если одно из этих чисел больше с, а другое меньше с, то будем говорить, что они лежат по разные стороны от с.

Свойство 3. Если число и основание лежат по одну сторону от единицы, то логарифм положителен; если число и основание лежат по разные стороны от единицы, то логарифм отрицателен.

Доказательство свойства 3 основано на том, что степень а больше единицы, если основание больше единицы и показатель положителен или основание меньше единицы и показатель отрицателен. Степень меньше единицы, если основание больше единицы и показатель отрицателен или основание меньше единицы и показатель положителен.

Требуется рассмотреть четыре случая:

Ограничимся разбором первого из них, остальные читатель рассмотрит самостоятельно.

Пусть тогда в равенстве показатель степени не может быть ни отрицательным, ни равным нулю, следовательно, он положителен, т. е. что и требовалось доказать.

Пример 3. Выяснить, какие из указанных ниже логарифмов положительны, какие отрицательны:

Решение, а) так как число 15 и основание 12 расположены по одну сторону от единицы;

б) , так как 1000 и 2 расположены по одну сторону от единицы; при этом несущественно, что основание больше логарифмируемого числа;

в) , так как 3,1 и 0,8 лежат по разные стороны от единицы;

г) ; почему?

д) ; почему?

Следующие свойства 4-6 часто называют правилами логарифмирования: они позволяют, зная логарифмы некоторых чисел, найти логарифмы их произведения, частного, степени каждого из них.

Свойство 4 (правило логарифмирования произведения). Логарифм произведения нескольких положительных чисел по данному основанию равен сумме логарифмов этих чисел по тому же основанию.

Доказательство. Пусть даны положительные числа .

Для логарифма их произведения напишем определяющее логарифм равенство (26.1):

Отсюда найдем

Сравнив показатели степени первого и последнего выражений, получим требуемое равенство:

Заметим, что условие существенно; логарифм произведения двух отрицательных чисел имеет смысл, но в этом случае получим

В общем случае, если произведение нескольких сомножителей положительно, то его логарифм равен сумме логарифмов модулей этих сомножителей.

Свойство 5 (правило логарифмирования частного). Логарифм частного положительных чисел равен разности логарифмов делимого и делителя, взятых по тому же основанию. Доказательство. Последовательно находим

что и требовалось доказать.

Свойство 6 (правило логарифмирования степени). Логарифм степени какого-либо положительного числа равен логарифму этого числа, умноженному на показатель степени.

Доказательство. Запишем снова основное тождество (26.1) для числа :

что и требовалось доказать.

Следствие. Логарифм корня из положительного числа равен логарифму подкоренного числа, деленному на показатель корня:

Доказать справедливость этого следствия можно, представив как и воспользовавшись свойством 6.

Пример 4. Прологарифмировать по основанию а:

а) (предполагается, что все величины b, с, d, е положительны);

б) (преполагается, что ).

Решение, а) Удобно перейти в данном выражении к дробным степеням:

На основании равенств (26.5)-(26.7) теперь можно записать:

Мы замечаем, что над логарифмами чисел производятся действия более простые, чем над самими числами: при умножении чисел их логарифмы складываются, при делении - вычитаются и т.д.

Именно поэтому логарифмы получили применение в вычислительной практике (см. п. 29).

Действие, обратное логарифмированию, называется потенцированием, а именно: потенцированием называется действие, с помощью которого по данному логарифму числа находится само это число. По существу потенцирование не является каким-либо особым действием: оно сводится к возведению основания в степень (равную логарифму числа). Термин «потенцирование» можно считать синонимом термина «возведенение в степень».

При потенцировании надо пользоваться правилами, обратными по отношению к правилам логарифмирования: сумму логарифмов заменить логарифмом произведения, разность логарифмов - логарифмом частного и т. д. В частности, если перед знаком логарифма находится какой-либо множитель, то его при потенцировании нужно переносить в показатель степени под знак логарифма.

Пример 5. Найти N, если известно, что

Решение. В связи с только что высказанным правилом потенцирования множители 2/3 и 1/3, стоящие перед знаками логарифмов в правой части данного равенства, перенесем в показатели степени под знаками этих логарифмов; получим

Теперь разность логарифмов заменим логарифмом частного:

для получения последней дроби в этой цепочке равенств мы предыдущую дробь освободили от иррациональности в знаменателе (п. 25).

Свойство 7. Если основание больше единицы, то большее число имеет больший логарифм (а меньшее - меньший), если основание меньше единицы, то большее число имеет меньший логарифм {а меньшее - больший).

Это свойство формулируют также и как правило логарифмирования неравенств, обе части которых положительны:

При логарифмировании неравенств по основанию, большему единицы, знак неравенства сохраняется, а при логарифмировании по основанию, меньшему единицы, знак неравенства меняется на противоположный (см. также п. 80).

Доказательство основано на свойствах 5 и 3. Рассмотрим случай, когда Если , то и, логарифмируя, получим

(а и N/М лежат по одну сторону от единицы). Отсюда

Случай а следует , читатель разберет самостоятельно.

Что такое логарифм?

Внимание!
К этой теме имеются дополнительные
материалы в Особом разделе 555.
Для тех, кто сильно "не очень..."
И для тех, кто "очень даже...")

Что такое логарифм? Как решать логарифмы? Эти вопросы многих выпускников вводят в ступор. Традиционно тема логарифмов считается сложной, непонятной и страшной. Особенно - уравнения с логарифмами.

Это абсолютно не так. Абсолютно! Не верите? Хорошо. Сейчас, за какие-то 10 - 20 минут вы:

1. Поймете, что такое логарифм .

2. Научитесь решать целый класс показательных уравнений. Даже если ничего о них не слышали.

3. Научитесь вычислять простые логарифмы.

Причём для этого вам нужно будет знать только таблицу умножения, да как возводится число в степень...

Чувствую, сомневаетесь вы... Ну ладно, засекайте время! Поехали!

Для начала решите в уме вот такое уравнение:

Если Вам нравится этот сайт...

Кстати, у меня есть ещё парочка интересных сайтов для Вас.)

Можно потренироваться в решении примеров и узнать свой уровень. Тестирование с мгновенной проверкой. Учимся - с интересом!)

можно познакомиться с функциями и производными.

Начнем со свойства логарифма единицы . Его формулировка такова: логарифм единицы равен нулю, то есть, log a 1=0 для любого a>0 , a≠1 . Доказательство не вызывает сложностей: так как a 0 =1 для любого a , удовлетворяющего указанным выше условиям a>0 и a≠1 , то доказываемое равенство log a 1=0 сразу следует из определения логарифма.

Приведем примеры применения рассмотренного свойства: log 3 1=0 , lg1=0 и .

Переходим к следующему свойству: логарифм числа, равного основанию, равен единице , то есть, log a a=1 при a>0 , a≠1 . Действительно, так как a 1 =a для любого a , то по определению логарифма log a a=1 .

Примерами использования этого свойства логарифмов являются равенства log 5 5=1 , log 5,6 5,6 и lne=1 .

К примеру, log 2 2 7 =7 , lg10 -4 =-4 и .

Логарифм произведения двух положительных чисел x и y равен произведению логарифмов этих чисел: log a (x·y)=log a x+log a y , a>0 , a≠1 . Докажем свойство логарифма произведения. В силу свойств степени a log a x+log a y =a log a x ·a log a y , а так как по основному логарифмическому тождеству a log a x =x и a log a y =y , то a log a x ·a log a y =x·y . Таким образом, a log a x+log a y =x·y , откуда по определению логарифма вытекает доказываемое равенство.

Покажем примеры использования свойства логарифма произведения: log 5 (2·3)=log 5 2+log 5 3 и .

Свойство логарифма произведения можно обобщить на произведение конечного числа n положительных чисел x 1 , x 2 , …, x n как log a (x 1 ·x 2 ·…·x n)= log a x 1 +log a x 2 +…+log a x n . Данное равенство без проблем доказывается .

Например, натуральных логарифм произведения можно заменить суммой трех натуральных логарифмов чисел 4 , e , и .

Логарифм частного двух положительных чисел x и y равен разности логарифмов этих чисел. Свойству логарифма частного соответствует формула вида , где a>0 , a≠1 , x и y – некоторые положительные числа. Справедливость этой формулы доказывается как и формула логарифма произведения: так как , то по определению логарифма .

Приведем пример использования этого свойства логарифма: .

Переходим к свойству логарифма степени . Логарифм степени равен произведению показателя степени на логарифм модуля основания этой степени. Запишем это свойство логарифма степени в виде формулы: log a b p =p·log a |b| , где a>0 , a≠1 , b и p такие числа, что степень b p имеет смысл и b p >0 .

Сначала докажем это свойство для положительных b . Основное логарифмическое тождество позволяет нам представить число b как a log a b , тогда b p =(a log a b) p , а полученное выражение в силу свойство степени равно a p·log a b . Так мы приходим к равенству b p =a p·log a b , из которого по определению логарифма заключаем, что log a b p =p·log a b .

Осталось доказать это свойство для отрицательных b . Здесь замечаем, что выражение log a b p при отрицательных b имеет смысл лишь при четных показателях степени p (так как значение степени b p должно быть больше нуля, в противном случае логарифм не будет иметь смысла), а в этом случае b p =|b| p . Тогда b p =|b| p =(a log a |b|) p =a p·log a |b| , откуда log a b p =p·log a |b| .

Например, и ln(-3) 4 =4·ln|-3|=4·ln3 .

Из предыдущего свойства вытекает свойство логарифма из корня : логарифм корня n -ой степени равен произведению дроби 1/n на логарифм подкоренного выражения, то есть, , где a>0 , a≠1 , n – натуральное число, большее единицы, b>0 .

Доказательство базируется на равенстве (смотрите ), которое справедливо для любых положительных b , и свойстве логарифма степени: .

Вот пример использования этого свойства: .

Теперь докажем формулу перехода к новому основанию логарифма вида . Для этого достаточно доказать справедливость равенства log c b=log a b·log c a . Основное логарифмическое тождество позволяет нам число b представить как a log a b , тогда log c b=log c a log a b . Осталось воспользоваться свойством логарифма степени: log c a log a b =log a b·log c a . Так доказано равенство log c b=log a b·log c a , а значит, доказана и формула перехода к новому основанию логарифма .

Покажем пару примеров применения этого свойства логарифмов: и .

Формула перехода к новому основанию позволяет переходить к работе с логарифмами, имеющими «удобное» основание. Например, с ее помощью можно перейти к натуральным или десятичным логарифмам, чтобы можно было вычислить значение логарифма по таблице логарифмов . Формула перехода к новому основанию логарифма также позволяет в некоторых случаях находить значение данного логарифма, когда известны значения некоторых логарифмов с другими основаниями.

Часто используется частный случай формулы перехода к новому основанию логарифма при c=b вида . Отсюда видно, что log a b и log b a – . К примеру, .

Также часто используется формула , которая удобна при нахождении значений логарифмов. Для подтверждения своих слов покажем, как с ее помощью вычисляется значение логарифма вида . Имеем . Для доказательства формулы достаточно воспользоваться формулой перехода к новому основанию логарифма a : .

Осталось доказать свойства сравнения логарифмов.

Докажем, что для любых положительных чисел b 1 и b 2 , b 1 log a b 2 , а при a>1 – неравенство log a b 1

Наконец, осталось доказать последнее из перечисленных свойств логарифмов. Ограничимся доказательством его первой части, то есть, докажем, что если a 1 >1 , a 2 >1 и a 1 1 справедливо log a 1 b>log a 2 b . Остальные утверждения этого свойства логарифмов доказываются по аналогичному принципу.

Воспользуемся методом от противного. Предположим, что при a 1 >1 , a 2 >1 и a 1 1 справедливо log a 1 b≤log a 2 b . По свойствам логарифмов эти неравенства можно переписать как и соответственно, а из них следует, что log b a 1 ≤log b a 2 и log b a 1 ≥log b a 2 соответственно. Тогда по свойствам степеней с одинаковыми основаниями должны выполняться равенства b log b a 1 ≥b log b a 2 и b log b a 1 ≥b log b a 2 , то есть, a 1 ≥a 2 . Так мы пришли к противоречию условию a 1

Список литературы.

Колмогоров А.Н., Абрамов А.М., Дудницын Ю.П. и др. Алгебра и начала анализа: Учебник для 10 - 11 классов общеобразовательных учреждений.

Гусев В.А., Мордкович А.Г. Математика (пособие для поступающих в техникумы).